3.3 Lineare Funktionen, Matheübungen

Hinweis: Der y-Achsenabschnitt b wird bei Mathegym auch mit dem Buchstaben c bezeichnet. - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)

Hilfe
  • Um zu überprüfen, ob ein Punkt P(x | y) auf der Geraden liegt, setzt man den x-Wert in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert. Ist das Ergebnis der y-Wert des Punktes, dann liegt der Punkt auf der Geraden.

Prüfe rechnerisch, ob die Punkte P und Q auf der gegebenen Gerade liegen. Möglicherweise liegt auch keiner der beiden Punkte auf der Geraden.

  • Geradengleichung: 
    y
    =
    2
    3
     
    x
    ; P(−15|10); Q(28|
    18
    2
    3
    )
    P liegt auf der Geraden.
    Q liegt auf der Geraden.
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
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keine Berechtigung
Was beschreibt ein Term T(x) in Abhängigkeit von einer Variablen x?
#302
Ein Term T(x) drückt aus, wie sich eine bestimmte Größe (z.B. Kosten einer Klassenfahrt) abhängig von der Größe x (Anzahl der teilnehmenden Schüler) berechnet.
Beispiel
Auf einer Party sind Kinder und Erwachsene, wobei x die Anzahl der Kinder sein soll. Stelle den Term T(x) für die Anzahl aller Personen auf der Party auf, wenn gilt:
a) Auf der Party sind 4 Erwachsene mehr als Kinder.
b) Auf der Party sind halb so viele Erwachsene wie Kinder.
c) Würden noch zwei Erwachsene mehr zur Party kommen, so wären halb so viele Erwachsene wie Kinder da.
Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden und was sagt sie aus?
#914
Die Steigung m einer Geraden verrät durch ihr Vorzeichen, ob die Gerade steigt (m>0) oder fällt (m<0). Sonderfall: waagrechte Gerade (m=0). Am Betrag vom m sieht man, wie steil die Gerade verläuft. Je größer |m|, desto steiler die Gerade.

Liegt die Gerade als Zeichnung vor, kann man ihre Steigung m als Bruch angeben. Wähle dazu zwei beliebige Punkte auf der Geraden aus und zähle ab, wie viele Kästchen du vom linken Punkt aus nach rechts (⇒ Nenner von m) und von dort aus nach oben oder unten gehen musst (⇒ positiver bzw. negativer Zähler von m), um beim rechten Punkt anzukommen.

Beispiel
Bestimme die Steigung der Geraden.
graphik
Wie bestimmt man den Funktionsterm einer grafisch dargestellten Geraden?
#811
Um den Funktionsterm einer abgebildeten Geraden aufzustellen, musst du ihren y-Achsenabschnitt und ihre Steigung ermitteln:
  1. Der y-Achsenabschnitt lässt sich direkt aus dem Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse ablesen.
  2. Die Steigung erhältst du so: suche zwei Punkte auf der Geraden, deren Koordinaten sich gut ablesen lassen und betrachte das Steigungsdreieck zwischen diesen beiden Punkten. Bilde den Bruch aus der Höhe des Dreiecks im Zähler und der Breite des Dreiecks im Nenner und kürze diesen, falls möglich. Falls die Gerade fällt, schreibe noch ein Minus vor den oben ermittelten Bruch. Damit hast du die Steigung.
Beispiel
Lies jeweils die genauen Werte für m und c ab:
graphik
Was ist der allgemeine Funktionsterm einer Geraden und was bedeuten die Parameter m und c?
#624

Eine lineare Funktion mit der Gleichung y = m·x + c ergibt grafisch immer eine Gerade. Dabei ist m die Steigung (zeigt an, wie stark die Gerade steigt oder fällt) und c der y-Achsenabschnitt (zeigt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet) der Gerade.

  • Ist m positiv, so steigt die Gerade (von links nach rechts)
  • Ist m negativ, so fällt die Gerade (von links nach rechts)
  • Ist m = 0, so verläuft die Gerade parallel zur x-Achse
Beispiel
Welche Informationen lassen sich bzgl. der Steigung m und des y-Achsen-Abschnitts c ablesen?
graphik
Wie verändern sich die y-Werte bei einer linearen Zuordnung y = ...x... in Abhängigkeit von x und welches Vorzeichen hat der y-Wert für x = 0?
#429
Mit zunehmenden x-Werten
  • nehmen auch die y-Werte zu, falls die Gerade steigt,
  • nehmen die y-Werte ab, falls die Gerade fällt,
  • sind die y-Werte konstant, falls die Gerade parallel zur x-Achse verläuft.
Für x = 0 ergibt sich
  • ein positiver y-Wert, falls die Gerade die y-Achse oberhalb der x-Achse schneidet,
  • ein negativer y-Wert, falls die Gerade die y-Achse unterhalb der x-Achse schneidet,
  • der y-Wert 0, falls die Gerade durch den Ursprung geht.
Wie bestimmt man den Funktionsterm einer Ursprungsgeraden?
#867
Um die Steigung einer Ursprungsgeraden zu ermitteln, gehe wie folgt vor:
  1. Suche zwei Punkte auf der Geraden, deren Koordinaten sich gut ablesen lassen und betrachte das Steigungsdreieck zwischen diesen beiden Punkten.
  2. Bilde den Bruch aus der Höhe des Dreiecks im Zähler und der Breite des Dreiecks im Nenner und kürze diesen, falls möglich.
  3. Falls die Gerade fällt, schreibe noch ein Minus vor den oben ermittelten Bruch. Damit hast du die Steigung.
Wie kann man rechnerisch überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?
#646
Um zu überprüfen, ob ein Punkt P(x | y) auf der Geraden liegt, setzt man den x-Wert in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert. Ist das Ergebnis der y-Wert des Punktes, dann liegt der Punkt auf der Geraden.
Wie berechnet man die fehlende Koordinate eines Punktes auf einer Geraden, wenn eine Koordinate bekannt ist?
#650
Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die x-Koordinate bekannt ist, erhält man die y-Koordinate, indem man die x-Koordinate in den Funktionsterm einsetzt und den Wert des Funktionsterms berechnet. Das Ergebnis ist die y-Koordinate.

Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die y-Koordinate bekannt ist, erhält man die x-Koordinate, indem man den Funktionsterm gleich der y-Koordinate setzt und die entstehende Gleichung nach x auflöst. Das Ergebnis ist die x-Koordinate.
Wie verhalten sich die Steigungen zweier zueinander senkrechter Geraden?
#868

Sind zwei Geraden g und h zueinander senkrecht (orthogonal), so erfüllen ihre Steigungen die Gleichung mg · mh = −1.

Am einfachsten erhält man die Steigung der zu g orthogonalen Geraden, indem man die Steigung von g als Bruch darstellt, diesen Bruch stürzt und das Vorzeichen ändert.