3.3 Parabeln mit y = ax^2, Matheübungen

Quadratische Funktionen - Lehrwerk Westermann (5.-10. Klasse)

Hilfe

  • Der Graph der quadratischen Funktion y=x² heißt Normalparabel mit dem Scheitel S ( 0 | 0 ).

    Eigenschaften der Funktion / des Graphen:

    • Die Funktion y=x² ordnet jedem x-Wert seine Quadratzahl x² zu.
    • Damit gilt: der y-Wert einer Zahl x und der y-Wert ihrer Gegenzahl -x sind immer gleich. Deshalb ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
    • Der kleinste Funktionswert ist 0. Alle anderen Funktionswerte sind positiv.
    • Der tiefste Punkt des Graphen heißt Scheitel. Er liegt bei der Normalparabel im Ursprung.
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Überprüfe, ob die gegebenen Punkte auf der Normalparabel mit dem Scheitel S (0 | 0) liegen. Schreibe "ja" oder "nein".

  • Normalparabel y
    =
    x
    2
    P (10 | 1000)
     
     
    liegt auf der Normalparabel mit dem Scheitel S (0 | 0):
     
     
     
    Q (-5 | -25)
     
     
    liegt auf der Normalparabel mit dem Scheitel S (0 | 0):
     
     
     
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Was sagt der Graph der Funktion y = ax² (a≠0) über die Form der Parabel aus?
#232

Die durch y = ax² (a≠0) definierte Parabel hat den Scheitel im Ursprung und ist gegenüber der Normalparabel in y-Richtung um das |a|-fache gestreckt (|a|>1) oder gestaucht (|a|<1). Das Vorzeichen von a legt fest, ob die Parabel nach oben (a positiv) oder nach unten (a negativ) geöffnet ist.

Beispiel
Neben der Normalparabel (grau) sind drei verschiedene Parabeln mit der Gleichung y = ax² dargestellt. Lies jeweils das Vorzeichen von a ab und gib an, ob |a|>1 oder |a|<1.
graphik
Wie bestimmt man den Formparameter a einer Parabel, wenn die Gleichung bis auf diesen bekannt ist?
#233
Die Gleichung einer Parabel sei bis auf den Formfaktor a bekannt. Dann lässt sich a bestimmen, indem man einen Punkt des Graphen aus dem Koordinatensystem abliest, ihn in die Parabelgleichung einsetzt und die Gleichung nach a auflöst.
Beispiel
graphik
Welche typischen Eigenschaften und Merkmale hat die quadratische Funktion y=x² und ihr Graph?
#828

Der Graph der quadratischen Funktion y=x² heißt Normalparabel mit dem Scheitel S ( 0 | 0 ).

Eigenschaften der Funktion / des Graphen:

  • Die Funktion y=x² ordnet jedem x-Wert seine Quadratzahl x² zu.
  • Damit gilt: der y-Wert einer Zahl x und der y-Wert ihrer Gegenzahl -x sind immer gleich. Deshalb ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
  • Der kleinste Funktionswert ist 0. Alle anderen Funktionswerte sind positiv.
  • Der tiefste Punkt des Graphen heißt Scheitel. Er liegt bei der Normalparabel im Ursprung.
Beispiel 1
Überprüfe, ob der gegebene Punkt auf der Normalparabel mit dem Scheitel S (0 | 0) liegt.
Normalparabel y
=
x
2
P (12 | 120)
Beispiel 2
Bestimme, falls möglich, alle x-Werte, für die die Punkte P und Q auf der Normalparabel mit dem Scheitel S ( 0 | 0 ) liegen.
Normalparabel y
=
x
2
Punkt P ( x | 
64
 ) 
Punkt Q ( x | 
−
64
 )