3.3 Ziehen aus einer Urne mit Beachtung der Reihenfolge, Matheübungen

Zufallsgrößen und Binomialverteilung - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-12. Klasse)

Hilfe
  • Im Urnenmodell wird ein Behälter (Urne) benutzt, um Laplace-Experimente zu modellieren. Dazu wird die Urne mit einer bestimmten Anzahl Kugeln gefüllt, die bis auf eine Eigenschaft (z.B. Farbe) nicht unterscheidbar sind. Beim zufälligen Ziehen einer Kugel aus der Urne sollen alle Kugeln dieselbe Auswahlwahrscheinlichkeit haben. Es gibt die Unterscheidungen "Ziehen mit/ohne Zurücklegen" und "mit/ohne Beachtung der Reihenfolge" der gezogenen Kugeln.
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Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit der angegebenen Ereignisse! Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 2. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • Ein Computerladen bietet für einen Smartphonevertrag vier verschiedene Versicherungsarten (Basis, Standard, Komplett, Neuwert), drei verschiedene Vertragslaufzeiten (drei, sechs und zwölf Monate) und fünf verschiedene Datenvolumina (1GB, 5GB, 10GB, 20GB und 50GB) an. Ein sorgloser Kunde wählt eine Kombination aus Versicherung, Laufzeit und Datenvolumen zufällig aus.
    a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Kombination über 10GB Datenvolumen auswählt?
    b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Neuwertversicherung mit dem Smartphone abschliesst?
    c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er 20GB Datenvolumen und eine sechsmonatige Laufzeit auswählt?
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Was ist das Urnenmodell in der Stochastik und wie wird es verwendet?
#1217
Im Urnenmodell wird ein Behälter (Urne) benutzt, um Laplace-Experimente zu modellieren. Dazu wird die Urne mit einer bestimmten Anzahl Kugeln gefüllt, die bis auf eine Eigenschaft (z.B. Farbe) nicht unterscheidbar sind. Beim zufälligen Ziehen einer Kugel aus der Urne sollen alle Kugeln dieselbe Auswahlwahrscheinlichkeit haben. Es gibt die Unterscheidungen "Ziehen mit/ohne Zurücklegen" und "mit/ohne Beachtung der Reihenfolge" der gezogenen Kugeln.
Beispiel 1
Beim Lottospiel "6 aus 49" kann ein Spieler auf bis zu sechs richtige Zahlen getippt haben (Minimum: null). Konzipiere für die Zufallsgröße "Anzahl Richtiger" ein passendes Urnenmodell.
Beispiel 2
Eine Urne enthält fünf Kugeln, die mit 1, 2, 3, 4 und 5 beschriftet sind. Aus dieser Urne wird zweimal eine Kugel gezogen und die entstehende zweistellige Zahl (1. Kugel Zehnerstelle, 2. Kugel Einerstelle) notiert.
Bestimme jeweils die Anzahl der möglichen zweistelligen Zahlen, wenn
a) die gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird,
b) die gezogene Kugel nicht wieder zurückgelegt wird.
c) Wie viele Möglichkeiten gibt es bei a) und b) für die Ziehung eines Pasches?
Beispiel 3
Eine Urne enthält fünf Kugeln, die mit 1, 2, 3, 4 und 5 beschriftet sind. Aus dieser Urne wird zweimal eine Kugel gezogen und die entstehende zweistellige Zahl (1. Kugel Zehnerstelle, 2. Kugel Einerstelle) notiert.  
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ...
a) ... beim Ziehen mit Zurücklegen eine Zahl über 50 gezogen wird?  
b) ... beim Ziehen ohne Zurücklegen die Zahl 15 gezogen wird?