3.4 Bestimmen von Funktionstermen, Matheübungen

Lineare Funktionen - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)

Hilfe
  • Ist eine Gerade durch zwei Punkte gegeben, so geht man wie folgt vor, um ihre Gleichung, sprich m und b, zu ermitteln:
    1. Bestimme zunächst die Steigung m = Δy / Δx .
    2. Setze dann in die Gleichung y = m·x + b die Koordinaten von einem der beiden Punkte ein und löse die Gleichung nach b auf.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Bestimme durch Rechnung die Geradengleichung.

  • g geht durch die Punkte P
     
    1
     
    |
     
    −
    2
    3
     
    und Q
     
    1
    3
     
    |
     
    5
     
    .
    g:
     
    y
    =
     
    x
    +
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
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keine Berechtigung
Wie zeichnet man eine Gerade, wenn man ihre Gleichung kennt, ohne ein Steigungsdreieck zu verwenden?
#812
Gegeben ist die Gleichung einer Geraden. Um sie zu zeichnen, benötigt man zwei Punkte. Diese erhält man z.B., indem man zwei unterschiedliche x-Werte in die Gleichung einsetzt und die zugehörigen y-Werte ausrechnet. Praktischer Weise sollte man mit x=0 anfangen (wenig Rechenaufwand; der zugehörige y-Wert ist der y-Achsenabschnitt).
Beispiel
Zeichne die Gerade mit folgender Gleichung:
 
y
=
2
−
1
3
 
x
Wie lautet die Gleichung einer nicht senkrechten Geraden?
#418
Jede nicht senkrechte Gerade und damit jede lineare Zuordnung kann durch eine Gleichung ähnlich

y = 1/3 x + 1

beschrieben werden.
Beispiel
Beschreibe die drei Geraden jeweils durch eine Gleichung von der Art y = ? · x + ?.
graphik
- - - - - - - - - - - Schwarz:
Für x = 0 ergibt sich y = -2, also hat der Summand am Ende des Terms den Wert -2.
graphik
Am sogenannten Steigungsdreieck erkannt man: Nimmt x um 2 Einheiten zu, so nimmt y um 3 Einheiten zu, also hat der Faktor vor x den Wert 3/2 .
y
=
3
2
 
x
−
2
- - - - - - - - - - - Grün:
Für x = 0 ergibt sich y = -1, also hat der Summand am Ende des Terms den Wert -1.
graphik
Nimmt x um 2 Einheiten zu, so nimmt y um 1 Einheit ab, also hat der Faktor vor x den Wert -1/2 ("Minus" da "abnehmend").
y
=
−
1
2
 
x
−
1
- - - - - - - - - - - Orange:
y ist immer 0,5 (unabhängig von x), also lautet die Gleichung y = 0,5 (das heißt der Faktor vor x hat den Wert 0).
Beispiel
Dirk wiegt 72 kg und möchte mit Krafttraining Muskelmasse aufbauen, um Wrestler im Superschwergewicht zu werden. Mit Hilfe eines strengen Trainings- und Ernährungsplans will er pro Monat ca. 5kg zulegen. Sebastian hat mit 102kg deutlich Übergewicht und will durch eine disziplinierte Diät wöchentlich ca. 500g abnehmen. Nach wie vielen Wochen wären Dirk und Sebastian gleich schwer, wenn sie mit der Umsetzung ihrer Pläne zur selben Zeit beginnen und durchhalten?
Wie kann man rechnerisch überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?
#646
Um zu überprüfen, ob ein Punkt P(x | y) auf der Geraden liegt, setzt man den x-Wert in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert. Ist das Ergebnis der y-Wert des Punktes, dann liegt der Punkt auf der Geraden.
Beispiel
Liegt der Punkt P auf der Geraden g?
Gerade:
 
y
=
2
·
x
+
5
Punkt:
 
P
 
3
 
|
 
10
Wie überprüft man, ob ein Punkt bezüglich eines Funktionsgraphen auf, über oder unter diesem liegt?
#234
Um zu überprüfen, ob ein Punkt (a|b) über, auf oder unter dem Graphen einer Funktion liegt, setzt man a in den Funktionsterm f(x) ein. Der Punkt liegt
  • über dem Graphen, wenn b > f(a)
  • auf dem Graphen, wenn b = f(a)
  • unter dem Graphen, wenn b < f(a)
Beispiel
g: 
y
=
−
1
3
 
x
+
2
3
;        
A
 
2
 
|
 
0
;   
B
 
−
4
 
|
 
2,5
;   
C
 
8
 
|
 
−
3
Gib jeweils an, ob der der Punkt über, auf oder unter der Geraden liegt.
Wie zeichnet man eine Gerade, wenn Steigung m und y-Achsenabschnitt t bekannt sind?
#810
Um die Gerade mit der Gleichung y=mx+t zu zeichnen, gehe am besten wie folgt vor:
  1. Stelle die Steigung m als Bruch dar (falls nicht schon als Bruch gegeben), z.B. m = -1/4 .
  2. Gehe vom Schnittpunkt mit der y-Achse, also P(0|t) aus um den Nennerbetrag, hier also um 4, nach rechts.
  3. Gehe dann um den Zählerbetrag nach oben (falls m postiv) bzw. unten (falls m negativ). Hier also um 1 nach unten. Damit hast du einen zweiten Punkt und kannst die Gerade zeichnen.
Die Schritte 2 und 3 können auch vertauscht werden. Ebenso ist es egal, ob du Kästchen oder ganze Einheiten abzählst. Wichtig ist nur, dass du nach rechts und nach oben (bzw. unten) die gleichen Schrittlängen abgehst.
Beispiel
Zeichne die Gerade mit folgender Gleichung: 
y
=
2
−
1
3
 
x
Wie berechnet man die fehlende Koordinate eines Punktes auf einer Geraden, wenn eine Koordinate bekannt ist?
#650
Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die x-Koordinate bekannt ist, erhält man die y-Koordinate, indem man die x-Koordinate in den Funktionsterm einsetzt und den Wert des Funktionsterms berechnet. Das Ergebnis ist die y-Koordinate.

Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die y-Koordinate bekannt ist, erhält man die x-Koordinate, indem man den Funktionsterm gleich der y-Koordinate setzt und die entstehende Gleichung nach x auflöst. Das Ergebnis ist die x-Koordinate.
Beispiel
Die beiden Punkte liegen auf der Geraden. Berechne die fehlenden Werte.
Gerade:
 
y
=
3
·
x
−
1
Punkte:
P
 
−
2
 
|
 
?
Q
 
?
 
|
 
14
Wie verhalten sich die Steigungen von parallelen und senkrechten Geraden zueinander?
#558
Sind zwei Geraden parallel, so besitzen sie dieselbe Steigung.

Sind zwei Geraden g und h zueiandner senkrecht (orthogonal), so erfüllen ihre Steigungen die Gleichung mg · mh = −1.

Wie prüft man rechnerisch, ob drei Punkte auf einer Geraden liegen?
#1194
Liegen drei Punkte auf einer Geraden?

Sind drei Punkte A(xA|yA), B(xB|yB) und C(xC|yC) gegeben, dann stelle eine Geradengleichung durch zwei Punkte, etwa A und B auf:
  1. Berechne Δy = yB − yA und Δx = xB − xA
  2. Berechne Steigung m = Δy/Δx
  3. Berechne y-Achsenabschnitt b = yA − m⋅xA
Setze m und b in die allgemeine Geradengleichung ein:
y = m⋅x + b
Setze dann Punkt C ein:
yC = m⋅xC + b

Erhältst du rechts und links vom Gleichheitszeichen die gleiche Zahl, liegen die drei Punkte auf einer Geraden, ansonsten nicht.
Beispiel
Liegen die drei Punkte auf einer Geraden?
A(1|2), B(3|8) und C(4|9)
Wie bestimmt man die Gleichung einer Geraden aus zwei gegebenen Punkten?
#635
Ist eine Gerade durch zwei Punkte gegeben, so geht man wie folgt vor, um ihre Gleichung, sprich m und b, zu ermitteln:
  1. Bestimme zunächst die Steigung m = Δy / Δx .
  2. Setze dann in die Gleichung y = m·x + b die Koordinaten von einem der beiden Punkte ein und löse die Gleichung nach b auf.
Beispiel
Ermittle die Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte P1(−3|2) und P2(5|−4) geht.