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3.5 Integral und Flächeninhalt, Matheübungen
- Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)
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Um die Fläche zu ermitteln, die zwischen zwei Graphen G
f
und G
g
im Intervall I = [a;b] (d.h. nach links und rechts begrenzt durch die Vertikalen x = a und x = b) liegt, gehe wie folgt vor:
Bilde die Differenz d = f − g und vereinfache den Term so weit wie möglich.
Ermittle eine Stammfunktion D von d.
Überprüfe, ob und wo sich beide Graphen im Intervall I schneiden. Kommst du mit dem Ansatz f(x) = g(x) rechnerisch nicht weiter, führt evtl. eine Skizze weiter (es reicht, wenn Schnittstellen durch die Skizze ausgeschlossen werden können!).
Evtl. Schnittstellen, die im Intervall I liegen, unterteilen I in Teilintervalle. Integriere nun die Differenz d über die einzelnen Teilintervalle. Dabei kannst du immer auf dieselbe Stammfunktion D zurückgreifen.
Addiere zum Schluss die BETRÄGE der einzelnen Integrale.
Berechne die Fläche, die im angegebenen Intervall I durch G
f
und G
g
begrenzt wird. Evtl. muss dazu eine Skizze angefertigt werden. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 2. Dezimalstelle gerundet eingeben!
Zwischenschritte aktivieren
f
x
=
3
x
+
1
g
x
=
2x
−
3
I
=
0;3
A
≈
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+
-
*
:
/
√
^
∞
<
>
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Lernvideo
FLÄCHE berechnen INTEGRAL – Integralrechnung Flächenberechnung
Kanal: MathemaTrick
Besitzt der Graph einer Funktion im Intervall ]a;b[ keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, so erhält man die Fläche, die er in diesem Intervall mit der x-Achse einschließt durch Integration von f zwischen den Integrationsgrenzen a und b. Bei negativem Integralwert (wenn das betrachtete Flächenstück unter der x-Achse liegt) ist der Betrag davon zu nehmen.
Besitzen die Graphen zweier Funktionen f und g im Intervall ]a;b[ keinen Schnittpunkt, so erhält man die Fläche, die sie in diesem Intervall einschließen, durch Integration der Differenz f − g zwischen den Integrationsgrenzen a und b. Bei negativem Integralwert (wenn f < g im betrachteten Intervall) ist der Betrag davon zu nehmen.
Um die Fläche zu ermitteln, die zwischen zwei Graphen G
f
und G
g
im Intervall I = [a;b] (d.h. nach links und rechts begrenzt durch die Vertikalen x = a und x = b) liegt, gehe wie folgt vor:
Bilde die Differenz d = f − g und vereinfache den Term so weit wie möglich.
Ermittle eine Stammfunktion D von d.
Überprüfe, ob und wo sich beide Graphen im Intervall I schneiden. Kommst du mit dem Ansatz f(x) = g(x) rechnerisch nicht weiter, führt evtl. eine Skizze weiter (es reicht, wenn Schnittstellen durch die Skizze ausgeschlossen werden können!).
Evtl. Schnittstellen, die im Intervall I liegen, unterteilen I in Teilintervalle. Integriere nun die Differenz d über die einzelnen Teilintervalle. Dabei kannst du immer auf dieselbe Stammfunktion D zurückgreifen.
Addiere zum Schluss die BETRÄGE der einzelnen Integrale.
Beispiel
Bestimme den Inhalt der Fläche, welche von den beiden Parabeln p und q mit
p
x
=
x
2
+
1
und
q
x
=
−
x
2
+
9
eingeschlossen wird.
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