3.5 Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade - Matheübungen und Online-Aufgaben

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Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn der gegebene Richtungsvektor von g und der gegebene Normalenvektor von E senkrecht zueinander sind.
Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:
1. Setze g in E ein, d.h. ersetze x₁, x₂ und x₃ in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen aus dem g-Gleichungssystem.
2. Löse die entstehende Gleichung, wenn möglich, nach λ auf und setze das Ergebnis in die g-Gleichung für λ ein.
3. Fasse zu einem Vektor zusammen, das Ergebnis entspricht S.
Eine Schnittpunkt liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind g und E parallel, und zwar
- echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
- unecht parallel (E enthält g), wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 2

Lagebeziehung Ebene - Gerade.
Zwischenschritte aktivieren

−

E enthält g

g ist echt parallel zu E

E und g schneiden sich im Punkt

−

keine Berechtigung

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Wie bestimmt man die Lagebeziehung und den Schnittpunkt einer Geraden und einer Ebene im Raum?

#614

Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn die drei vorkommenden Richtungsvektoren (einer von g und zwei von E) linear abhängig sind.

Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:

Setze g und E gleich.
Löse, wenn möglich, das entstehende Gleichungssystem (drei Gleichungen, drei unbekannte Parameter).
Setze z.B. das Ergebnis für den g-Parameter in g ein, um S auszurechnen.

Eine Schnittpunkt liegt nur dann vor, wenn sich das Gleichungssystem im zweiten Schritt eindeutig lösen lässt. Andernfalls sind g und E parallel, und zwar

echt parallel, wenn es keine Lösung gibt.
unecht parallel (E enthält g), wenn sich unendlich viele Lösungen ergeben.

Beispiel

−

Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Geraden g und h und bestimme, falls vorhanden, den jeweiligen Schnittpunkt.

Wie bestimmt man die Lage einer Geraden zu einer Ebene und findet einen Schnittpunkt?

#613

Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn der gegebene Richtungsvektor von g und der gegebene Normalenvektor von E senkrecht zueinander sind.

Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:

Setze g in E ein, d.h. ersetze x₁, x₂ und x₃ in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen aus dem g-Gleichungssystem.
Löse die entstehende Gleichung, wenn möglich, nach λ auf und setze das Ergebnis in die g-Gleichung für λ ein.
Fasse zu einem Vektor zusammen, das Ergebnis entspricht S.

Eine Schnittpunkt liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind g und E parallel, und zwar

echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
unecht parallel (E enthält g), wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.

Beispiel

−

Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Geraden g und h und bestimme, falls vorhanden, den jeweiligen Schnittpunkt.

Wie konstruiert man die Lotgerade zu einer Ebene und die Lotebene zu einer Geraden durch einen Punkt?

#795

Für die Lotgerade g zu einer Ebene E durch einen Punkt P wählt man:

P als Aufhängepunkt und
den Normalenvektor von E als Richtungsvektor.

Für die Lotebene E zu einer Geraden g durch einen Punkt P wählt man:

P als Aufhängepunkt und
den Richtungsvektor von g als Normalenvektor.

Wie konstruiert man geometrische Objekte wie Lotgeraden, Lotebenen und führt Spiegelungen durch?

#1308

Für die Lotgerade g zu einer Ebene E durch einen Punkt P wählt man:

P als Aufhängepunkt und
den Normalenvektor von E als Richtungsvektor.

Für die Lotebene E zu einer Geraden g durch einen Punkt P wählt man:

P als Aufhängepunkt und
den Richtungsvektor von g als Normalenvektor.

Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:

Spiegelung eines Punkts P an einer Geraden g: Bestimme die Lotebene E zu g durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
Spiegelung eines Punkts P an einer Ebene E: Bestimme die Lotgerade g zu E durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
Spiegelung einer Geraden g an einer Ebene E: Spiegle zwei Punkte von g an der Ebene E und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.

Wie führt man Spiegelungen geometrischer Objekte an Geraden und Ebenen durch?

#799

Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:

Spiegelung eines Punkts P an einer Geraden g: Bestimme die Lotebene E zu g durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
Spiegelung eines Punkts P an einer Ebene E: Bestimme die Lotgerade g zu E durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
Spiegelung einer Geraden g an einer Ebene E: Spiegle zwei Punkte von g an der Ebene E und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.
Spiegelung einer Kugel an einer Ebene E: Spiegle den Mittelpunkt der Kugel an E und übernimm den Radius.

Wie bestimmt man den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden, einer Geraden und einer Ebene sowie zwischen zwei Ebenen?

#798

Für den Winkel \( \alpha \) zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, \( 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \)) gilt:

\[ \cos(\alpha) = \frac{\text{Skalarprodukt beider Vektoren}} {\text{Produkt ihrer Längen}} \]

Den Winkel zwischen anderen geometrischen Objekten bestimmt man wie folgt:

Sich schneidende Geraden \( g \) und \( h \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).
Sich schneidende Gerade \( g \) und Ebene \( E \): Subtrahiere den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von \( g \) und dem Normalenvektor von \( E \) von \( 90^\circ \) (und nimm den Betrag des Ergebnisses, falls nötig).
Sich schneidende Ebenen \( E \) und \( F \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).

Für die Lotgerade \( g \) zu einer Ebene \( E \) durch einen Punkt \( P \) wählt man:

\( P \) als Aufhängepunkt und
den Normalenvektor von \( E \) als Richtungsvektor.

Für die Lotebene \( E \) zu einer Geraden \( g \) durch einen Punkt \( P \) wählt man:

\( P \) als Aufhängepunkt und
den Richtungsvektor von \( g \) als Normalenvektor.

Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:

Spiegelung eines Punkts \( P \) an einer Geraden \( g \): Bestimme die Lotebene \( E \) zu \( g \) durch \( P \). Der Schnittpunkt \( S \) von \( E \) und \( g \) ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von \( S \) den Verbindungsvektor von \( P \) und \( S \).
Spiegelung eines Punkts \( P \) an einer Ebene \( E \): Bestimme die Lotgerade \( g \) zu \( E \) durch \( P \). Der Schnittpunkt \( S \) von \( E \) und \( g \) ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von \( S \) den Verbindungsvektor von \( P \) und \( S \).
Spiegelung einer Geraden \( g \) an einer Ebene \( E \): Spiegle zwei Punkte von \( g \) an der Ebene \( E \) und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.
Spiegelung einer Kugel an einer Ebene \( E \): Spiegle den Mittelpunkt der Kugel an \( E \) und übernimm den Radius.

3.5 Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade, Matheübungen

Geraden und Ebenen im Raum - Fundamente der Mathematik (11.-13. Klasse) - 26 Aufgaben in 8 Levels

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