3.5 Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade - Matheübungen und Online-Aufgaben

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Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn der gegebene Richtungsvektor von g und der gegebene Normalenvektor von E senkrecht zueinander sind.
Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:
1. Setze g in E ein, d.h. ersetze x₁, x₂ und x₃ in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen aus dem g-Gleichungssystem.
2. Löse die entstehende Gleichung, wenn möglich, nach λ auf und setze das Ergebnis in die g-Gleichung für λ ein.
3. Fasse zu einem Vektor zusammen, das Ergebnis entspricht S.
Eine Schnittpunkt liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind g und E parallel, und zwar
- echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
- unecht parallel (E enthält g), wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 2

Lagebeziehung Ebene - Gerade.
Zwischenschritte aktivieren

−

E enthält g

g ist echt parallel zu E

E und g schneiden sich im Punkt

−

keine Berechtigung

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Wie bestimmt man die Lagebeziehung und den Schnittpunkt einer Geraden und einer Ebene im Raum?

#614

Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn die drei vorkommenden Richtungsvektoren (einer von g und zwei von E) linear abhängig sind.

Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:

Setze g und E gleich.
Löse, wenn möglich, das entstehende Gleichungssystem (drei Gleichungen, drei unbekannte Parameter).
Setze z.B. das Ergebnis für den g-Parameter in g ein, um S auszurechnen.

Eine Schnittpunkt liegt nur dann vor, wenn sich das Gleichungssystem im zweiten Schritt eindeutig lösen lässt. Andernfalls sind g und E parallel, und zwar

echt parallel, wenn es keine Lösung gibt.
unecht parallel (E enthält g), wenn sich unendlich viele Lösungen ergeben.

Beispiel

−

Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Geraden g und h und bestimme, falls vorhanden, den jeweiligen Schnittpunkt.

Wie bestimmt man die Lage einer Geraden zu einer Ebene und findet einen Schnittpunkt?

#613

Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn der gegebene Richtungsvektor von g und der gegebene Normalenvektor von E senkrecht zueinander sind.

Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:

Setze g in E ein, d.h. ersetze x₁, x₂ und x₃ in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen aus dem g-Gleichungssystem.
Löse die entstehende Gleichung, wenn möglich, nach λ auf und setze das Ergebnis in die g-Gleichung für λ ein.
Fasse zu einem Vektor zusammen, das Ergebnis entspricht S.

Eine Schnittpunkt liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind g und E parallel, und zwar

echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
unecht parallel (E enthält g), wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.

Beispiel

−

Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Geraden g und h und bestimme, falls vorhanden, den jeweiligen Schnittpunkt.

Wie konstruiert man die Lotgerade zu einer Ebene und die Lotebene zu einer Geraden durch einen Punkt?

#795

Für die Lotgerade g zu einer Ebene E durch einen Punkt P wählt man:

P als Aufhängepunkt und
den Normalenvektor von E als Richtungsvektor.

Für die Lotebene E zu einer Geraden g durch einen Punkt P wählt man:

P als Aufhängepunkt und
den Richtungsvektor von g als Normalenvektor.

Wie konstruiert man geometrische Objekte wie Lotgeraden, Lotebenen und führt Spiegelungen durch?

#1308

Für die Lotgerade g zu einer Ebene E durch einen Punkt P wählt man:

P als Aufhängepunkt und
den Normalenvektor von E als Richtungsvektor.

Für die Lotebene E zu einer Geraden g durch einen Punkt P wählt man:

P als Aufhängepunkt und
den Richtungsvektor von g als Normalenvektor.

Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:

Spiegelung eines Punkts P an einer Geraden g: Bestimme die Lotebene E zu g durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
Spiegelung eines Punkts P an einer Ebene E: Bestimme die Lotgerade g zu E durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
Spiegelung einer Geraden g an einer Ebene E: Spiegle zwei Punkte von g an der Ebene E und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.

Wie führt man Spiegelungen geometrischer Objekte an Geraden und Ebenen durch?

#799

Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:

Spiegelung eines Punkts P an einer Geraden g: Bestimme die Lotebene E zu g durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
Spiegelung eines Punkts P an einer Ebene E: Bestimme die Lotgerade g zu E durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
Spiegelung einer Geraden g an einer Ebene E: Spiegle zwei Punkte von g an der Ebene E und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.
Spiegelung einer Kugel an einer Ebene E: Spiegle den Mittelpunkt der Kugel an E und übernimm den Radius.

Wie bestimmt man den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden, einer Geraden und einer Ebene sowie zwischen zwei Ebenen?

#798

Für den Winkel α zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, 0° ≤ α ≤ 180°) gilt:

cos(α) = Skalarprodukt beider Vektoren : Produkt ihrer Längen

Den Winkel zwischen anderen geometrischen Objekten bestimmt man wie folgt:

Sich schneidende Geraden g und h: Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren (Ist dieser > 90°, subtrahiere ihn noch von 180°)
Sich schneidende Gerade g und Ebene E: Subtrahiere den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von g und dem Normalenvektor von E von 90° (und nimm den Betrag des Ergebnisses, falls nötig)
Sich schneidende Ebenen E und F: Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren (Ist dieser > 90°, subtrahiere ihn noch von 180°)

Für die Lotgerade g zu einer Ebene E durch einen Punkt P wählt man:

P als Aufhängepunkt und
den Normalenvektor von E als Richtungsvektor.

Für die Lotebene E zu einer Geraden g durch einen Punkt P wählt man:

P als Aufhängepunkt und
den Richtungsvektor von g als Normalenvektor.

Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:

Spiegelung eines Punkts P an einer Geraden g: Bestimme die Lotebene E zu g durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
Spiegelung eines Punkts P an einer Ebene E: Bestimme die Lotgerade g zu E durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
Spiegelung einer Geraden g an einer Ebene E: Spiegle zwei Punkte von g an der Ebene E und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.
Spiegelung einer Kugel an einer Ebene E: Spiegle den Mittelpunkt der Kugel an E und übernimm den Radius.

3.5 Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade, Matheübungen

Geraden und Ebenen im Raum - Fundamente der Mathematik (11.-13. Klasse) - 26 Aufgaben in 8 Levels

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