3.5 Proportionalität und Antiproportionalität, Matheübungen

Lineare Funktionen - Lehrwerk Lambacher Schweizer

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  • Proportional heißt: Wenn man die eine Größe (x) verdoppelt, verdoppelt sich auch die andere (y). Wenn man x verdreifacht, verdreifacht sich auch y u.s.w.. Da der Quotient aus y und x konstant ist, spricht man von Quotientengleichheit. Den konstanten Quotientenwert y : x nennt man Proportionalitätsfaktor.

    Umgekehrt (indirekt, anti-) proportional heißt: Wenn man x verdoppelt, halbiert sich y. Wenn man x verdreifacht, verringert sich y auf den dritten Teil u.s.w.. Da das Produkt aus x und y konstant ist, spricht man von Produktgleichheit.

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Ist die Zuordnung proportional? Wenn ja, gib den exakten Proportionalitätsfaktor q gemäß y = q · x an. Wenn nicht, gib "!" an.
Brüche sind in der Form "a/b" bzw. "-a/b" einzugeben.

  • x
    4,8
    −
    7,8
    −
    0,6
    y
    −
    3,2
    5,2
    0,4
    q
    =
    Notizfeld
    Notizfeld
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Was bedeutet proportional, umgekehrt proportional, produktgleich, quotientengleich und Proportionalitätsfaktor?
#141

Proportional heißt: Wenn man die eine Größe (x) verdoppelt, verdoppelt sich auch die andere (y). Wenn man x verdreifacht, verdreifacht sich auch y u.s.w.. Da der Quotient aus y und x konstant ist, spricht man von Quotientengleichheit. Den konstanten Quotientenwert y : x nennt man Proportionalitätsfaktor.

Umgekehrt (indirekt, anti-) proportional heißt: Wenn man x verdoppelt, halbiert sich y. Wenn man x verdreifacht, verringert sich y auf den dritten Teil u.s.w.. Da das Produkt aus x und y konstant ist, spricht man von Produktgleichheit.

Beispiel 1
Stelle fest, ob der Zusammenhang zwischen den folgenden Größen jeweils indirekt (synonym: umgekehrt/anti-) proportional ist:
a) x=Geschwindigkeit eines Autos | y=Fahrzeit für eine bestimmte Strecke
b) x=Anzahl der Maler | y=Arbeitsdauer für das Streichen einer Wohnung
c) x=Anzahl der bereits gelesenen Seiten | y=noch ungelesene Seiten eines Buches
Beispiel 2
Die Größen x und y stehen in einem proportionalen Zusammenhang. Fülle die Tabelle vollständig aus.
x
3
1
7
5
y
4
11
1
14
Beispiel 3
Die Größen x und y stehen in einem umgekehrt proportionalen (antiproportionalem) Zusammenhang. Fülle die Tabelle vollständig aus.
x
11
3
1
7
y
14
−
1
14
−
7
11
Beispiel 4
Prüfe, ob der Zusammenhang proportional ist. Wenn ja, gib den Proportionalitätsfaktor q an.
x
1,5
−
2
3
1
y
−
0,5
2
9
−
1
3
Beispiel 5
Prüfe, ob der Zusammenhang proportional, umgekehrt proportional (antiproportional) oder weder noch ist. Gib in den ersten beiden Fällen den noch fehlenden Tabellenwert an.
x
−
1,8
5
2
−
1
1
3
y
2
−
1,44
31
2,7
Beispiel 6
Ein Maler benötigt 7,5 Stunden, um eine Fläche von 300 m² zu bemalen. Wieviel Zeit benötigt er für eine Fläche von 500 m²?
Wie sehen die Diagramme bei proportionalen und umgekehrt proportionalen Beziehungen aus?
#147

Jede Wertetabelle lässt sich grafisch umsetzen, indem man die einzelnen Spalten als Punkte mit entsprechender x- und y-Koordinate liest.

Merke:
  • Bei Proportionalität ergibt sich eine Gerade, die durch den Ursprung des Koordinatensystems geht.
  • Bei umgekehrter Proportionalität (Antiproportionalität) ergibt sich eine sogenannte Hyperbel, deren Äste sich auf die x- und y-Achse zubewegen.
Beispiel
Welcher Graph beschreibt den Zusammenhang zwischen der Fahrzeit und der durchschnittlichen Geschwindigkeit bei einer Strecke von 400 km?
graphik