3.5 Prozentuale Veränderung, Matheübungen

Prozent- und Zinsrechnung - Lehrwerk Fundamente der Mathematik (5.-9. Klasse)

Hilfe
  • Entscheide zuerst, ob in der gegebenen Situation der Geldbetrag von 15€
    • der ursprüngliche Betrag ist (Grundwert, entspricht 100%),
    • eine Veränderung des ursprünglichen Betrags ist (entspricht einer prozentualen Änderung, ausgehend von 100%)
    • der veränderte bzw. neue Betrag ist (Prozentwert, der einem Prozentsatz ungleich 100% entspricht)
  • Vermeide beim Prozentrechnen die folgenden Fehler:
    • Falsche Zuordnung des Grundwerts
    • Prozentwert und Prozentsatz gehören nicht zusammen
    Ein gutes Mittel, um solche Fehler zu vermeiden, ist die Veranschaulichung einer Situation in einem Streifendiagramm: Es besteht aus einem unterteilten Rechteck, bei dem im Inneren die gegebenen Größen und am Rand die passenden Prozentsätze notiert werden (siehe folgendes Beispiel).
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Ordne der gegebenen Situation das passende Diagramm zu. Wähle anschließend die richtige Antwort aus.

  • "Bei der Buchung des Hotelzimmers müssen Sie 20% Anzahlung leisten. Überweisen Sie also den Betrag von 15€ auf unser Konto!" Wie viel kostet das Hotelzimmer?
    Passendes Diagramm:
                     
    graphikgraphikgraphik
                     
    graphikgraphikgraphik
    Antwort: Das Hotelzimmer kostet
    3€
      
    12€
      
    20€
      
    60€
      
    75€
      
    80€
      
    90€
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Die Veränderung einer Größe oder der Unterschied zwischen zwei Größen kann prozentual, durch Kommazahlen, natürliche Zahlen oder Brüche ausgedrückt werden. Je nach Formulierung beziehen sich die Zahlen auf die Veränderung/den Unterschied (Signalwort "um") oder den Vergleich (Signalwort "auf").

Wenn z.B. ein Influencer auf Youtube seine Abonnentenzahl innerhalb eines bestimmten Zeitraums verfünffachen konnte, so lässt sich das auch so ausdrücken:

  • die Abonnentenzahl ist fünf mal so groß wie vorher
  • die Abonnentenzahl ist auf 500% gestiegen
  • die Abonnentenzahl hat um das Vierfache zugenommen
  • die Abonnentenzahl ist um 400% angewachsen
Achte darauf, ob der Prozentsatz die Differenz zwischen zwei Größen ausdrückt oder ob es darum geht, wie groß die eine Größe im Vergleich zur anderen ist. Eine Differenz ist z.B. bei folgenden Formulierungen gemeint:
  • "um 30% gestiegen"; der neue Wert beträgt dann 130% (= 100% + 30%) gegenüber dem alten, ist also 1,3 mal so groß
  • "Abnahme um 20%"; der neue Wert beträgt dann 80% (= 100% − 20%) gegenüber dem alten, ist also 0,8 mal so groß
  • "15% mehr als"; der größere Wert beträgt dann 115% gegenüber dem kleineren, ist also 1,15 mal so groß
Beispiel
Klassenstärke heuer: 30 SchülerInnen; letztes Jahr: 28 SchülerInnen; berechne den Zuwachs (= Differenz) in Prozent.
Vermeide beim Prozentrechnen die folgenden Fehler:
  • Falsche Zuordnung des Grundwerts
  • Prozentwert und Prozentsatz gehören nicht zusammen
Ein gutes Mittel, um solche Fehler zu vermeiden, ist die Veranschaulichung einer Situation in einem Streifendiagramm: Es besteht aus einem unterteilten Rechteck, bei dem im Inneren die gegebenen Größen und am Rand die passenden Prozentsätze notiert werden (siehe folgendes Beispiel).
Beispiel
Veranschauliche die folgende Aufgabe durch ein Diagramm und löse sie:
In Bayern gibt es heute auf 2,45 Millionen Hektar Waldgebiete. Vor der Römerzeit war Bayern auf seiner 
70
 
000km
2
 großen Fläche noch so gut wie vollständig bewaldet. Welcher prozentuale Anteil der Waldfläche wurde also innerhalb der letzten 2000 Jahre gerodet?
Ergeben sich mehrere prozentuale Veränderungen hintereinander, so lässt sich ähnlich wie bei der Grundgleichung der Prozentrechnung eine Gleichung formulieren, in der aber mehrere Prozentsätze vorkommen.
Beispiel
Von 2002 bis 2005 ist der Immobilienpreis in München um 10% zurückgegangen. Von 2005 bis 2014 ist er um 70% gestiegen. Wieviel Euro zahlte man 2002 pro Quadratmeter, wenn der Preis 2014 bei 6€/m² lag? Um wieviel Prozent ist Preis insgesamt gestiegen im Zeitraum 2002 bis 2014?