3.7 Beweisen, Matheübungen

Dreiecksgeometrie - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)

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  • Die Kongruenz zweier Dreiecke erkennt man nicht immer sofort. Auf sein Augenmaß darf man sich außerdem auch nicht verlassen. Am sichersten lässt sich die Kongruenz zweier Dreiecke mit Hilfe der sog. Kongruenzsätze feststellen. Zwei Dreiecke sind demnach kongruent, wenn

    • sie in allen drei Seiten übereinstimmen (SSS).
    • sie in einer Seite und zwei zu dieser Seite gleich liegenden Winkeln übereinstimmen (WSW bzw. SWW).
    • sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (SWS).
    • sie in zwei Seiten und dem Winkel, der der größeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen (SsW).

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  • graphik
    Das Viereck ABCD ist rechteckig. Welche der folgenden Argumente tragen dazu bei, die Kongruenz der Dreiecke AED und FCG zu beweisen?
    AE = FG, weil beide Seiten jeweils dem kleineren Winkel gegenüberliegen
    CG = BC = AD
    DE = FC (Thaleskreis)
    ∠EAD = ∠FCB (Wechselwinkel)
    ∠ADE = ∠GCF (Stufenwinkel)
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Welche Struktur liegt jeder mathematischen Aussage zugrunde und wie kann man diese durch Umformulierung verdeutlichen?
#806
Manche Sätze der Alltagssprache und alle mathematischen Aussagen besitzen eine (manchmal versteckte) Struktur:
  • Einerseits geben sie an, unter welcher Bedingung oder für welche Objekte oder in welchen Fällen sie eine Aussage treffen. Das ist die Voraussetzung.
  • Außerdem enthalten sie natürlich die eigentliche Behauptung.
Diese Struktur wird deutlich, wenn der Satz in der Wenn-Dann-Form vorliegt:
  • Der Wenn-Teil enthält die Voraussetzung.
  • Der Dann-Teil enthält die Behauptung.
Beispiel 1
Gib die Voraussetzung und die Behauptung an und bringe den Satz in die Wenn-Dann-Form:
"Radfahrer bis 10 Jahren dürfen den Gehweg benutzen."
Beispiel 2
Gib die Voraussetzung und die Behauptung an und bringe den Satz in die Wenn-Dann-Form:
"Jedes achsensymmetrische Dreieck besitzt zwei übereinstimmende Innenwinkel."
Wie beweist man eine mathematische Aussage oder widerlegt sie? Welche fünf Strategien gibt es dafür?
#809
Um nachzuweisen, dass eine mathematische Aussage falsch ist, genügt ein Gegenbeispiel: Es muss die Voraussetzungen erfüllen und der Behauptung widersprechen.

Um eine mathematische Aussage zu beweisen, ist ein Beispiel jedoch nicht ausreichend. Die mathematische Aussage ist nur wahr, wenn sie für alle Fälle zutrifft, also allgemeingültig ist. Beim Beweisen können verschiedene Strategien zum Einsatz kommen, die oft miteinander kombiniert werden müssen:
  • Rückgriff auf bekannte Eigenschaften oder Definitionen, z.B.: "Jedes gleichschenklige Dreieck besitzt zwei gleich lange Seitenlängen."
  • Rückgriff auf bereits bewiesene Sätze, z.B.: "Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°."
  • Anwendung bekannter Argumentationsmuster, z.B.: "Dreiecke, die in einer Seitenlänge und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind kongruent."
  • Symmetriebetrachtungen, z.B.: "Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch und wird durch die Symmetrieachse in zwei flächengleiche Teildreiecke zerlegt."
  • Aufstellen und Umformen von Termen, z.B.: "Die Summe von zwei aufeinander folgenden Zahlen ist x + (x+1) = 2x + 1, also ungerade."
Beispiel 1
"Wenn die letzte Ziffer einer natürlichen Zahl die 4 ist, dann ist die Zahl selbst durch 4 teilbar."
Beweise oder widerlege diese Aussage.
Beispiel 2
"Jedes Rechteck, das zugleich eine Raute ist, ist ein Quadrat."
Beweise oder widerlege diese Aussage.
Was sind die vier Kongruenzsätze für Dreiecke?
#181
Die Kongruenz zweier Dreiecke erkennt man nicht immer sofort. Auf sein Augenmaß darf man sich außerdem auch nicht verlassen. Am sichersten lässt sich die Kongruenz zweier Dreiecke mit Hilfe der sog. Kongruenzsätze feststellen. Zwei Dreiecke sind demnach kongruent, wenn

  • sie in allen drei Seiten übereinstimmen (SSS).
  • sie in einer Seite und zwei zu dieser Seite gleich liegenden Winkeln übereinstimmen (WSW bzw. SWW).
  • sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (SWS).
  • sie in zwei Seiten und dem Winkel, der der größeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen (SsW).