3.9 Schnittwinkel, Matheübungen

Geraden und Ebenen im Raum - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse) - 13 Aufgaben in 3 Levels

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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Berechne den Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren der Ebenen.
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    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
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    Für den Winkel \( \alpha \) zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, \( 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \)) gilt:

    \[ \cos(\alpha) = \frac{\text{Skalarprodukt beider Vektoren}} {\text{Produkt ihrer Längen}} \]

    Den Winkel zwischen anderen geometrischen Objekten bestimmt man wie folgt:

    • Sich schneidende Geraden \( g \) und \( h \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).
    • Sich schneidende Gerade \( g \) und Ebene \( E \): Subtrahiere den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von \( g \) und dem Normalenvektor von \( E \) von \( 90^\circ \) (und nimm den Betrag des Ergebnisses, falls nötig).
    • Sich schneidende Ebenen \( E \) und \( F \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 2
  • Bestimme den Schnittwinkel der beiden sich schneidenden Ebenen (gerundet auf eine ganze Zahl).

    • \(E_1:5x_1-2x_2-4x_3+4=0\)

    \(E_2:\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\circ \left[\vec{x}-\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\right]=0 \)

    Der Schnittwinkel beträgt \(\approx\) °

  • keine Berechtigung
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Stoff zum Thema
Wie bestimmt man den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden, einer Geraden und einer Ebene sowie zwischen zwei Ebenen?
#798

Für den Winkel \( \alpha \) zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, \( 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \)) gilt:

\[ \cos(\alpha) = \frac{\text{Skalarprodukt beider Vektoren}} {\text{Produkt ihrer Längen}} \]

Den Winkel zwischen anderen geometrischen Objekten bestimmt man wie folgt:

  • Sich schneidende Geraden \( g \) und \( h \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).
  • Sich schneidende Gerade \( g \) und Ebene \( E \): Subtrahiere den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von \( g \) und dem Normalenvektor von \( E \) von \( 90^\circ \) (und nimm den Betrag des Ergebnisses, falls nötig).
  • Sich schneidende Ebenen \( E \) und \( F \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).


Für die Lotgerade \( g \) zu einer Ebene \( E \) durch einen Punkt \( P \) wählt man:

  • \( P \) als Aufhängepunkt und
  • den Normalenvektor von \( E \) als Richtungsvektor.

Für die Lotebene \( E \) zu einer Geraden \( g \) durch einen Punkt \( P \) wählt man:

  • \( P \) als Aufhängepunkt und
  • den Richtungsvektor von \( g \) als Normalenvektor.


Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:

  • Spiegelung eines Punkts \( P \) an einer Geraden \( g \): Bestimme die Lotebene \( E \) zu \( g \) durch \( P \). Der Schnittpunkt \( S \) von \( E \) und \( g \) ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von \( S \) den Verbindungsvektor von \( P \) und \( S \).
  • Spiegelung eines Punkts \( P \) an einer Ebene \( E \): Bestimme die Lotgerade \( g \) zu \( E \) durch \( P \). Der Schnittpunkt \( S \) von \( E \) und \( g \) ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von \( S \) den Verbindungsvektor von \( P \) und \( S \).
  • Spiegelung einer Geraden \( g \) an einer Ebene \( E \): Spiegle zwei Punkte von \( g \) an der Ebene \( E \) und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.
  • Spiegelung einer Kugel an einer Ebene \( E \): Spiegle den Mittelpunkt der Kugel an \( E \) und übernimm den Radius.
Wie bestimmt man den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden, einer Geraden und einer Ebene sowie zwischen zwei Ebenen?
#1451

Für den Winkel \( \alpha \) zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, \( 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \)) gilt:

\[ \cos(\alpha) = \frac{\text{Skalarprodukt beider Vektoren}} {\text{Produkt ihrer Längen}} \]

Den Winkel zwischen anderen geometrischen Objekten bestimmt man wie folgt:

  • Sich schneidende Geraden \( g \) und \( h \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).
  • Sich schneidende Gerade \( g \) und Ebene \( E \): Subtrahiere den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von \( g \) und dem Normalenvektor von \( E \) von \( 90^\circ \) (und nimm den Betrag des Ergebnisses, falls nötig).
  • Sich schneidende Ebenen \( E \) und \( F \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).
Beispiel
Berechne den Schnittwinkel zwischen den Ebenen \(E_1\) und \(E_2\text{:}\) \[ E_1: \; 2x + y - z - 3 = 0 \] \[ E_2: \; x - y + 2z - 1 = 0 \]