4.12 Vermischte Aufgaben, Matheübungen

- Lehrwerk Fundamente der Mathematik (5.-9. Klasse)

Hilfe
  • Eine Parabel lässt sich durch drei geeignete Punkte eindeutig festlegen. Durch das Einsetzen der drei Punkte in die Funktionsgleichung y = ax² + bx + c erhält man ein Gleichungssystem mit den drei Unbekannten a, b und c. Dieses kann mittels Einsetz- oder Subtraktionsverfahren gelöst werden.
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Durch drei Punkte A, B und C wird eine Parabel mit der Gleichung y = ax² + bx + c festgelegt. Bestimme a, b und c und kontrolliere durch Zeichnung.

  • A
     
    1
     
    |
     
    −
    11
    3
    ;
     
    B
     
    0
     
    |
     
    −
    4
    ;
     
    C
     
    3
     
    |
     
    −
    7
    a
    =
    b
    =
    c
    =
    Brüche sind in der Form "p/q" bzw. "-p/q" einzugeben.
    GeoGebra
    GeoGebra
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Für diese Aufgabe steht dir GeoGebra zur Verfügung. Damit kannst du Konstruktionen direkt am Bildschirm durchführen.
  • Ersetze a, b und c durch die errechneten Parameterwerte und drücke dann die Enter-Taste.
  • Wenn du mit der Konstruktion fertig bist, scrolle zurück nach oben und gib bei der Aufgabe das passende Ergebnis ein.
Zum Ändern der Größe gestrichelte Linie ziehen
Wie wandelt man die Darstellungsformen einer quadratischen Funktion ineinander um?
#924
Die Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel kann von jeder Form aus in jede andere Form umgewandelt werden:
  • Allgemeine Form ⇒ Scheitepunktform: mittels quadratischer Ergänzung
  • Allgemeine Form ⇒ Nullstellenform: mittels Nullstellenbestimmung, z.B. mit Hilfe der Miternachts- oder der p-q-Formel
  • Scheitelpunktform ⇒ allgemeine Form: Ausmultiplizieren (binomische Formel) und vereinfachen
  • Scheitelpunktform ⇒ Nullstellenform: mittels Nullstellenbestimmung, wobei hier keine Lösungsformel notwendig ist
  • Nullstellenform ⇒ allgemeine Form: Ausmultiplizieren und vereinfachen
  • Nullstellenform ⇒ Scheitelpunktform: xS ergibt sich als Mittelwert der Nullstellen, yS durch Einsetzen von xS in den Funktionsterm
Beispiel
Allgemeine Form - Scheitelpunktform - Nullstellenform: Wandle jeweils von der gegebenen in die beiden anderen Formen um.
a) 
y
=
1
3
 
x
+
1
2
−
2
b) 
y
=
1
2
 
x
2
−
5x
+
8
c) 
y
=
3
·
x
−
2
·
x
+
1
Beispiel
Bestimme den Abstand des Punktes P(-5|3) von der Geraden y=3x-1 mit Hilfe von Pythagoras und quadratischer Ergänzung.
Wie bestimmt man die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion mit einem bekannten Parameter?
#659
Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung y=ax²+bx+c. Gibt man zwei Punkte auf dem Graphen (Schaubild) der Funktion und einen der Parameterwerte a, b oder c vor, lässt sich die Funktionsgleichung bestimmen.

Durch das Einsetzen der zwei Punkte und des Parameterwerts in die Funktionsgleichung y = ax² + bx + c erhält man ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Dieses kann mittels Einsetz- oder Subtraktionsverfahren gelöst werden.

Beispiel
Bestimme die Gleichung der Parabel p, die durch die Punkte A und B verläuft.
A
 
2
 
|
 
8
B
 
−
1
 
|
 
1
p:y
=
ax
2
+
bx
+
9
Wie löst man eine Bruchgleichung, wenn x nur im Nenner eines Bruchs vorkommt?
#1076
Kommt in einer Bruchgleichung nur ein Bruch mit x im Nenner vor, so multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner dieses Bruchs. Durch anschließendes Kürzen erhält man eine vereinfachte (nennerfreie) Gleichung.
Beispiel
Wandle in eine nennerfreie Gleichung um und vereinfache diese:
5x
3x
−
1
+
7x
=
2
Wie macht man eine Bruchgleichung nennerfrei und was sollte man beachten?
#222
Ein Zwischenziel beim Lösen von Bruchgleichungen besteht darin, die Gleichung nennerfrei zu machen. Das gelingt, auch bei Bruchgleichungen mit mehreren Summanden, indem man beide Seiten mit dem Produkt aller auftretenden Nennerterme bzw. mit ihrem kleinsten gemeinsamen Vielfachen ("Hauptnenner") multipliziert.
Beispiel
Löse die Gleichung:
3x
−
1
2x
+
3
=
−
6x
2
−
4x
Wie löst man Extremwertaufgaben in vier Schritten?
#658
Bei Extremwertaufgaben geht man am besten in folgenden Schritten vor:
  1. Darstellung der zu optimierenden Größe als Term
  2. Term in Abhängigkeit von einer Variable (z.B. "x") darstellen
  3. Term in Nullstellen- oder Scheitelpunktform umwandeln
  4. Extremwert und zugehöriges "x" bestimmen
Beispiel
Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basislänge 4 und der Höhe 3,5 ist ein Rechteck einbeschrieben. Bestimme Länge und Breite des Rechtecks mit dem maximalen Flächeninhalt.
Wie bestimmt man Schnitt- oder Berührpunkte zwischen einer Parabel und einer Geraden oder zwischen zwei Parabeln?
#784

Die Graphen zweier quadratischer Funktionen (Parabeln) oder einer quadratischen und einer linearer Funktion (Parabel und Gerade) f und g können sich zweimal schneiden, einmal berühren oder auch keine gemeinsamen Punkte aufweisen. Um das herauszufinden, setzt man beide Funktionsterme gleich, also f(x) = g(x), und bringt die Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0. Mit Hilfe der Diskriminante D = (p/2)² − q bekommt man die Antwort:

  • D > 0 ⇔ zwei Schnittstellen
  • D = 0 ⇔ eine Berührstelle
  • D < 0 ⇔ weder Schnitt- noch Berührstelle, also keine gemeinsamen Punkte
Beispiel 1
Gegeben sind die Parabel r und die Gerade g mit folgenden Gleichungen:
r: y
=
−
1
3
 
x
2
−
5x
+
7
g: y
=
5
6
 
x
−
2
a) Ermittle rechnerisch, ob sich beide Graphen schneiden, berühren oder ob Sie keine gemeinsamen Punkte aufweisen.
b) Falls es gemeinsame Punkte gibt: ermittle diese!
Beispiel 2
- - - a) - - -
Gegeben sind eine Parabelschar 
p
a
 und eine Gerade g durch
p
a
 
x
=
ax
2
−
2x
+
1
g
 
x
=
3x
−
4
Gib jeweils den Wert oder die Werte für a an, bei dem sich 
p
a
 und g schneiden/berühren/weder schneiden noch berühren.

- - - b) - - -
Gegeben sind eine Parabel p und eine Geradenschar 
g
m
 durch
p
x
=
1
2
 
x
−
1
2
+
2
g
m
 
x
=
mx
−
2
Bestimme m so, dass sich Parabel und Gerade berühren.
Wie bestimmt man die Gleichung einer Parabel, die durch drei Punkte festgelegt ist?
#430
Eine Parabel lässt sich durch drei geeignete Punkte eindeutig festlegen. Durch das Einsetzen der drei Punkte in die Funktionsgleichung y = ax² + bx + c erhält man ein Gleichungssystem mit den drei Unbekannten a, b und c. Dieses kann mittels Einsetz- oder Subtraktionsverfahren gelöst werden.
Beispiel
Ermittle die Gleichung der Parabel durch folgende Punkte:
A
 
2
 
|
 
1
;
    
B
 
−
3
 
|
 
2
;
    
C
 
1
 
|
 
−
5