4.2 Lineares und exponentielles Wachstum, Matheübungen

- Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)

Hilfe
  • Wachstumsrate = Wachstumsfaktor a − 1
    • Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt um 20% (= Rate) zu, so hat er sich auf 120% (= a) des ursprünglichen Bestands vergößert.
    • Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt um 20% (Rate) ab, so hat er sich auf 80% (= a) des ursprünglichen Bestands verringert.
    Ansonsten bedenke, dass 80% = 0,8 und 120% = 1,2.
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Bestimme den Wachstumsfaktor a. Gib evtl. auftretende Brüche in der Form "a/b" bzw. "-a/b" an.

  • Vermögenswachstum bei einem Jahreszinssatz von 4,5% (mit Zinseszins):
    a
    =
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Was sind die konstanten Faktoren und Funktionsterme bei linearem und exponentiellem Wachstum?
#723
Sei B(n) der Bestand nach dem n-ten Zeitschritt.
Unterscheide zwischen linearem und exponentiellem Wachstum:
  • Linear: Zunahme pro Zeitschritt ist - absolut - immer gleich, d.h.
    B(n + 1) = B(n) + d
    Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
    B(n) = B(0) + n ·d
    d bezeichnet hier die Änderung pro Zeitschritt.
  • Exponentiell: Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
    B(n + 1) = B(n) · k.
    Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
    B(n) = B(0) ·kn
    k bezeichnet hier den Wachstumsfaktor.
Beispiel
  • Exponentielles Wachstum
Ein Bestand mit dem Anfangswert B(0) = 1000 nimmt täglich um 2,5% zu.
n
0
1
2
5
10
B(n)
1000
?
?
?
?
  • Lineares Wachstum
Ein Bestand mit dem Anfangswert B(0) = 1000 nimmt täglich um 25 zu.
n
0
1
2
5
10
B(n)
1000
?
?
?
?
Was ist bei linearem und exponentiellem Wachstum jeweils konstant und wie erkennt man dies in einer Wertetabelle?
#343
Beim linearen Wachstum ist der absolute Zuwachs in gleichen Zeitschritten konstant, d.h.
  f(t+1) − f(t) = d (absolute Zunahme pro Zeitschritt)

Beim exponentiellen Wachstum ist der relative Zuwachs konstant, d.h.
  f(t+1) : f(t) = a (Wachstumsfaktor)

Bezogen auf eine Wertetabelle heißt das:
  • Bei linearem Wachstum ist die Differenz benachbarter Funktionswerte konstant.
  • Bei exponentiellem Wachstum ist der Quotient benachbarter Funktionswerte konstant.
Unterscheide zwischen Wachstum (d > 0 bzw. a > 1) und Abnahme (d < 0 bzw. 0 < a < 1)
Beispiel 1
Handelt es sich um lineares oder exponentielles Wachstum (oder weder noch)?
a
    
x
1
2
3
4
5
y
1
3
2
3
1
1
3
2
2
3
5
1
3
b
    
x
1
2
3
4
5
y
1
3
1
2
3
3
4
1
3
6
Beispiel 2
Ergänze so, dass es sich um exponentielles Wachstum handelt.
x
1
2
3
4
5
y
5
7
?
?
0,245
?
Wie hängen Wachstumsrate und Wachstumsfaktor beim exponentiellen Wachstum zusammen?
#345
Wachstumsrate = Wachstumsfaktor a − 1
  • Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt um 20% (= Rate) zu, so hat er sich auf 120% (= a) des ursprünglichen Bestands vergößert.
  • Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt um 20% (Rate) ab, so hat er sich auf 80% (= a) des ursprünglichen Bestands verringert.
Ansonsten bedenke, dass 80% = 0,8 und 120% = 1,2.
Beispiel
Wie lautet der Wachstumsfaktor (bezogen auf das angegebene Zeitintervall)
  1. bei einer monatlichen Zunahme um die Hälfte
  2. bei einer jährlichen Abnahme um ein Viertel
  3. bei einem täglichen Rückgang um 1,5%