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4.2 Sinus und Kosinus am Einheitskreis, Matheübungen
Trigonometrie - Grundlegende Zusammenhänge - Lehrwerk Westermann (5.-10. Klasse)
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Die Beträge der einzugebenden Zahlen ergeben in der Summe 180.
Eine Lösung solltest du ohne Taschenrechner ermitteln können. Die andere erhältst du durch symmetrische Überlegungen.
Beispielaufgabe
+Video
Sei P der Punkt des Einheitskreises, der dem Winkel α zugeordnet ist.
Winkel
Spiegelung von P
Vorzeichenänderung
Formeln
−α bzw.
360° − α
an der x-Achse
nur sin
sin(α) = − sin(360° − α)
cos(α) = cos(360° − α)
180° − α
an der y-Achse
nur cos
sin(α) = sin(180° − α)
cos(α) = − cos(180° − α)
α ± 180°
am Ursprung
sin und cos
sin(α) = − sin(α ± 180°)
cos(α) = − cos(α ± 180°)
α ± 360°
P verändert sich nicht
sin(α) = sin(α ± 360°)
cos(α) = cos(α ± 360°)
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu dieser Aufgabe" unterhalb der Aufgabe.
Gib alle Lösungen im Intervall [0°;360°] an.
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sin
α
=
0,5
α
1
=
°
α
2
=
°
Notizfeld
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+
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√
^
∞
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie sind Sinus und Kosinus am Einheitskreis definiert?
#333
Jedem Winkel α lässt sich auf dem Einheitskreis genau ein Punkt P(x|y) zuordnen. Der Winkel wird dabei von der positiven x-Achse aus entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. Man definiert:
cos(α) = x und sin(α) = y
Sinus- und Kosinuswerte können also als Koordinaten von Punkten des Einheitskreises aufgefasst werden.
Beispiel 1
Ermittle anhand des Einheitskreises:
sin
450°
=
?
cos
360°
=
?
Beispiel 2
Mit welchen der folgenden vier Werte stimmt
cos
31°
überein? Entscheide anhand des Einheitskreises.
−
cos
−
31°
cos
149°
−
cos
211°
cos
121°
Wie beeinflusst die Spiegelung eines Punktes P auf dem Einheitskreis an der x-Achse, y-Achse oder am Ursprung die Sinus- und Kosinuswerte?
#334
Sei P der Punkt des Einheitskreises, der dem Winkel α zugeordnet ist.
Winkel
Spiegelung von P
Vorzeichenänderung
Formeln
−α bzw.
360° − α
an der x-Achse
nur sin
sin(α) = − sin(360° − α)
cos(α) = cos(360° − α)
180° − α
an der y-Achse
nur cos
sin(α) = sin(180° − α)
cos(α) = − cos(180° − α)
α ± 180°
am Ursprung
sin und cos
sin(α) = − sin(α ± 180°)
cos(α) = − cos(α ± 180°)
α ± 360°
P verändert sich nicht
sin(α) = sin(α ± 360°)
cos(α) = cos(α ± 360°)
Beispiel 1
Führe sin(139°) auf einen Winkel im Intervall [180° ; 270°] zurück.
Beispiel 2
Führe cos(2314°) auf einen Winkel zwischen 0° und 90° zurück:
Beispiel 3
Gib alle Lösungen im Intervall [0°;360°] an.
sin
x
=
0,7
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