4.3 Der Nachweis von Extremstellen, Mathe-Übungen

Extremstellen und Wendestellen - Lehrwerk Lambacher Schweizer

Hilfe

  • Bestimmung der lokalen Maxima und Minima einer Funktion:

    1. Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion.
    2. Überprüfe mithilfe des Vorzeichenwechsel-Kriteriums, ob im Graph ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.

    Randextrema:

    Untersuche, ob an den Intervallgrenzen lokale Maxima oder Minima vorliegen. Bestimme dazu den Funktionswert an den Intervallgrenzen und überprüfe, ob die erste Ableitung an den Intervallgrenzen größer oder kleiner als Null ist:
    • linker Rand: f'(x)<0, Randmaximum
    • linker Rand: f'(x)>0, Randminimum
    • rechter Rand: f'(x)<0, Randminimum
    • rechter Rand: f'(x)>0, Randmaximum

    Bestimmung des globalen Maximums und Minimums:

    1. Der größte Wert der lokalen Maxima und Randmaxima wird als globales Maximum bezeichnet.
    2. Der kleinste Wert der lokalen Minima und Randminima wird als globales Minimum bezeichnet.
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Bestimme alle lokalen und globalen Extrema der Funktion f. Gib Brüche in der Form a/b, Potenzen in der Form a^b ein. Fülle leer bleibende Felder mit "!" auf.

  • f
     
    x
    =
    2x
    3
    +
    3x
    2
    −
    36x
    Definitionsmenge IDf
    =
    [-4;5]
    Lokale Minima (nach aufsteigenden x-Koordinaten sortiert):
    f
     
    =
    f
     
    =
    Lokale Maxima (nach aufsteigenden x-Koordinaten sortiert):
    f
     
    =
    f
     
    =
    Globales Minimum:
    f
     
    =
    Globales Maximum:
    f
     
    =
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Ist f in einer Umgebung von x0 differenzierbar und besitzt Gf an der Stelle x0 eine waagrechte Tangente, d.h. also f ´ (x0) = 0, so befindet sich dort entweder ein Hoch-, ein Tief- oder ein Terrassenpunkt. Was genau, verrät der Vorzeichenverlauf von f ´:
  • "−,0,+" bedeutet für Gf "fallend,waagrecht,steigend", also Tiefpunkt (relatives Minimum von f)
  • "+,0,−" bedeutet für Gf "steigend,waagrecht,fallend", also Hochpunkt (relatives Maximum von f)
  • "−,0,−" bedeutet für Gf "fallend,waagrecht,fallend", also Terrassenpunkt
  • "+,0,+" bedeutet für Gf "steigend,waagrecht,steigend", also ebenfalls Terrassenpunkt
Beispiel
Bestimme für die in ganz ℝ definierte ganzrationale Funktion f mit 
f
 
x
=
2x
3
−
3x
2
−
1
 sämtliche Extrempunkte mithilfe des Vorzeichwechselkriteriums der ersten Ableitung.

Bestimmung der lokalen Maxima und Minima einer Funktion:

  1. Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion.
  2. Überprüfe mithilfe des Vorzeichenwechsel-Kriteriums, ob im Graph ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.

Randextrema:

Untersuche, ob an den Intervallgrenzen lokale Maxima oder Minima vorliegen. Bestimme dazu den Funktionswert an den Intervallgrenzen und überprüfe, ob die erste Ableitung an den Intervallgrenzen größer oder kleiner als Null ist:
  • linker Rand: f'(x)<0, Randmaximum
  • linker Rand: f'(x)>0, Randminimum
  • rechter Rand: f'(x)<0, Randminimum
  • rechter Rand: f'(x)>0, Randmaximum

Bestimmung des globalen Maximums und Minimums:

  1. Der größte Wert der lokalen Maxima und Randmaxima wird als globales Maximum bezeichnet.
  2. Der kleinste Wert der lokalen Minima und Randminima wird als globales Minimum bezeichnet.
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