4.3 Differenzierbarkeit, Matheübungen

Lokales und globales Differenzieren - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-11. Klasse)

Hilfe
  • Besitzt der Differenzenquotient

    [ f(x) − f(a) ] / (x − a)

    für x → a (x ≠ a) keinen Grenzwert, so ist f an der Stelle a nicht differenzierbar.

    Das kann sich beispielsweise darin äußern, dass die einseitigen Grenzwerte nicht übereinstimmen. Der Graph weist an einer solchen Stelle einen Knick auf.

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Ist f an der "Nahtstelle" differenzierbar? Bestimme dazu die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten.

  • f
     
    x
    =
    1
    −
    x
    ·
    x
    graphik
    linksseitig:
    rechtsseitig:
    Notizfeld
    Notizfeld
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keine Berechtigung
Wie erkennt man graphisch, dass eine Funktion an einer Stelle nicht differenzierbar ist?
#1120
Wenn f an der Stelle x0 differenzierbar ist, so hat Gf dort eine eindeutige Tangente. Weist Gf also an einer Stelle einen Knick oder einen Sprung auf, so kann f dort nicht differenzierbar sein. Ist f an einer Stelle nicht stetig (Sprung), so kann f dort also auch nicht differenzierbar sein.
Wie kann man einen von Betragsstrichen umgebenen Term betragsfrei schreiben?
#1121
Um einen Term | T(x) | betragsfrei zu schreiben, gehe wie folgt vor:
  1. Ermittle den Bereich, in dem der zugehörige Graph oberhalb oder auf der x-Achse liegt. Wenn kein Graph gegeben ist, löse dazu die Ungleichung T(x) ≥ 0.
  2. Im ermittelten Bereich kann | T(x) | durch T(x) ersetzt werden, d.h. die Betragsstriche können hier einfach weggelassen werden.
  3. Im restlichen Bereich muss anstelle der Betragsstriche ein Minuszeichen vor den umklammerten Term gesetzt werden.
Beispiel
Schreibe den Term 
4
−
9x
 betragsfrei.
Unter welchen Bedingungen ist eine Funktion an einer Stelle x=a nicht differenzierbar?
#399
Besitzt der Differenzenquotient

[ f(x) − f(a) ] / (x − a)

für x → a (x ≠ a) keinen Grenzwert, so ist f an der Stelle a nicht differenzierbar.

Das kann sich beispielsweise darin äußern, dass die einseitigen Grenzwerte nicht übereinstimmen. Der Graph weist an einer solchen Stelle einen Knick auf.

Beispiel
Ist f an der "Nahtstelle" differenzierbar? Bestimme dazu die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten.
f
 
x
=
x
·
2
−
x
graphik