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4.3 Zueinander ähnliche Dreiecke, Matheübungen
- Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)
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Hilfe
Die Winkel α, β und γ gehören wie üblich zu A, B und C; die Winkel δ, ε und φ zu D, E und F. Trage die Werte in eine vereinfachte Skizze ein und entscheide.
Beispielaufgabe
Zwei Dreiecke können unterschiedlich groß sein und doch ähnlich aussehen, weil sie dieselben Proportionen (Seitenverhältnisse) haben.
Ähnlich
sind zwei Dreiecke dann, wenn sie ... übereinstimmen.
im Längenverhältnis sich entsprechender Seiten (S:S:S-Satz)
in zwei Winkeln (W:W-Satz)
in einem Winkel und dem Längenverhältnis der anliegenden Seiten (S:W:S-Satz)
im Längenverhältnis zweier sich entsprechender Seiten und dem Winkel gegenüber der längeren Seite (S:s:W-Satz)
Der Satz gilt auch in umgekehrter Richtung, d.h. in zueinander ähnlichen Dreiecken trifft jede der aufgeführten Übereinstimmungen zu.
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Begründe jeweils, ob die Dreiecke ABC und DEF zueinander ähnlich sind.
β
=
30°,
a
=
5,
c
=
3,
φ
=
30°,
d
=
6,
e
=
10
kein Ähnlichkeitssatz anwendbar
Ähnlich gemäß
W
:
W
S
:
S
:
S
S
:
W
:
S
S
:
s
:
W
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
+
-
*
:
/
√
^
∞
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Stoff zum Thema
Was sind die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke?
#708
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie in den jeweils entsprechenden Winkeln und allen Seitenverhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. Dieses Verhältnis wird als Streckungsfaktor (oder Ähnlichkeitsfaktor) k bezeichnet; k drückt aus, wie lang die Seiten in Figur 2 im Vergleich zu den entsprechenden Seiten in Figur 1 sind. Z.B. bedeutet k=0,5, dass Figur 2 längenmäßig halb so groß wie Figur 1 ist.
Kennt man k, so kann man zu jeder Seitenlänge in Figur 1 durch Multiplikation mit k die entsprechende Seitenlänge in Figur 2 angeben.
Kennt man die Längen von zwei sich entsprechenden Seiten in Figur 1 und Figur 2, so kann man k durch Division der Seitenlängen "Figur 2 : Figur 1" bestimmen.
Beispiel
Die beiden Figuren sind ähnlich. Berechne die fehlenden Seitenlängen und gib die fehlenden Winkel an (Abbildungen nicht maßstabsgetreu).
a
=
?
β
=
?
γ
=
?
b'
=
?
α
'
=
?
β
'
=
?
Was sind die Erkennungsmerkmale ähnlicher Dreiecke?
#439
Zwei Dreiecke können unterschiedlich groß sein und doch ähnlich aussehen, weil sie dieselben Proportionen (Seitenverhältnisse) haben.
Ähnlich
sind zwei Dreiecke dann, wenn sie ... übereinstimmen.
im Längenverhältnis sich entsprechender Seiten (S:S:S-Satz)
in zwei Winkeln (W:W-Satz)
in einem Winkel und dem Längenverhältnis der anliegenden Seiten (S:W:S-Satz)
im Längenverhältnis zweier sich entsprechender Seiten und dem Winkel gegenüber der längeren Seite (S:s:W-Satz)
Der Satz gilt auch in umgekehrter Richtung, d.h. in zueinander ähnlichen Dreiecken trifft jede der aufgeführten Übereinstimmungen zu.
Beispiel
Gegeben sind die Dreiecke ABC und DEF mit
γ
=
45°,
a
=
1,
b
=
2,
δ
=
45°,
d
=
4,
e
=
2.
Sind beide Dreiecke ähnlich und wenn ja nach welchem Satz?
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