4.4 Diskriminante und Lösungsformel, Matheübungen

Quadratische Gleichungen und Gleichungssysteme - Lehrwerk Westermann (5.-10. Klasse)

Hilfe

  • Eine Lösung der Gleichung f(x) = h(x) kann als Schnitt- oder Berührstelle der beiden Graphen Gf und Gh interpretiert werden. Eine Lösung der Gleichung f(x) = 0 kann als Schnitt- oder Berührstelle von Gf mit der x-Achse interpretiert werden.

    Sofern die Gleichung quadratisch ist, kann man aus dem Vorzeichen der Diskriminante D auf die Anzahl der gemeinsamen Punkte schließen und umgekehrt:

    • D > 0 ⇔ zwei Schnittstellen
    • D = 0 ⇔ eine Berührstelle
    • D < 0 ⇔ weder Schnitt- noch Berührstelle, also keine gemeinsamen Punkte

Betrachte die Graphen und ihre zugehörigen Gleichungen. Welche Aussage trifft auf die jeweilige Diskriminante zu?

  • graphik
    p: y
    =
    1
    3
     
    x
    −
    2,5
    2
    g: y
    =
    x
    −
    3,25
    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
    1
    3
     
    x
    −
    2,5
    2
    =
    0
     
    D
     
    >
     
    0
         
     
    D
     
    =
     
    0
         
     
    D
     
    <
     
    0
    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
    1
    3
     
    x
    −
    2,5
    2
    =
    x
    −
    3,25
     
    D
     
    >
     
    0
         
     
    D
     
    =
     
    0
         
     
    D
     
    <
     
    0
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keine Berechtigung

Die Lösungen der quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. Mitternachtsformel (MNF) bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x1,2 = (−b ± √D) : 2a

Beispiel 1
Löse die Gleichung:
1
3
 
x
−
x
2
+
7
=
5
+
x
Beispiel 2
Löse die Gleichung 
2x
2
−
5x
−
7
=
0
.

Eine Lösung der Gleichung f(x) = h(x) kann als Schnitt- oder Berührstelle der beiden Graphen Gf und Gh interpretiert werden. Eine Lösung der Gleichung f(x) = 0 kann als Schnitt- oder Berührstelle von Gf mit der x-Achse interpretiert werden.

Sofern die Gleichung quadratisch ist, kann man aus dem Vorzeichen der Diskriminante D auf die Anzahl der gemeinsamen Punkte schließen und umgekehrt:

  • D > 0 ⇔ zwei Schnittstellen
  • D = 0 ⇔ eine Berührstelle
  • D < 0 ⇔ weder Schnitt- noch Berührstelle, also keine gemeinsamen Punkte

Um zu ermitteln, ob die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 überhaupt gelöst werden kann und ob es - falls ja - eine oder zwei Lösungen gibt, berechnet man am besten zuerst die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

  • Gilt D < 0, so ist die quadratische Gleichung unlösbar.
  • Gilt D = 0, so hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung.
  • Gilt D > 0, so hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.