4.4 Funktionenscharen, Matheübungen

Eigenschaften von Funktionsscharen in Abhängigkeit vom Scharparameter - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)

Löse die Aufgabe Schritt für Schritt.

  • Gegeben ist die Schar von Funktionen 
    f
    k
     mit  
    f
    k
     
    x
    =
    k
    ·
    ln
     
    x
    2
    +
    k
      und 
    k
     
    ∈
     
    ℝ
    +
     mit jeweils maximalem Definitionsbereich 
    D
    =
    ℝ
    . Der Graph von 
    f
    k
     wird mit 
    G
    k
     bezeichnet.
    a) Weise nach, dass die Graphen aller Scharfunktionen die gleiche Symmetrieeigenschaft besitzen.
    b) Ermittle das Verhalten von f an den Rändern von 
    D
    f
    .
    c) Bestimme in Abhängigkeit von k Anzahl und Lage der Nullstellen von 
    f
    k
    .
    d) Zeige, dass alle Funktionen der Schar das gleiche Monotonieverhalten besitzen.
    e) Ermittle den Wert von k, für den das Minimum von 
    f
    k
     den kleinstmöglichen Wert annimmt. Gib den zugehörigen Tiefpunkt von 
    f
    k
     an.
    f) Berechne für die beiden Graphen 
    G
    k
     mit 
    k
    =
    1
    e
     bzw. 
    k
    =
    1
     jeweils die Nullstellen und die Funktionswerte an den Stellen 
    x
    =
    2
     und 
    x
    =
    4
    . Zeichne die beiden Graphen auf der Grundlage aller bisherigen Ergebnisse im Intervall 
    −
    4
     
    ≤
     
    x
     
    ≤
     
    4
    .
    Schritt 1/10
    Zu a)
    Welche der folgenden Terme stimmen überein?
     
    −
    k
    ·
    ln
     
    −
    x
    2
    +
    k
     
     
     
     
    k
    ·
    ln
     
    −
    x
    2
    +
    k
     
     
     
     
    k
    ·
    ln
     
    x
    2
    +
    k
     
     
     
     
    k
    ·
    ln
     
    x
    2
    −
    k
    Welche Eigenschaft haben somit alle Graphen 
    G
    k
    ?
    Achsensymmetrie bezüglich der x-Achse
    Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse
    Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Ganzrationale Funktionenschar vom Grad 3, Parameterbestimmungen
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Ganzrationale Funktionenschar vom Grad 3, Parameterbestimmungen

Kanal: Mathegym
Wie bestimmt man den Parameterwert k für den Graphen einer Funktionenschar?
#1205
Zu jedem Einzelgraphen einer Funktionenschar fk lässt sich der passende Parameterwert von k ermitteln, indem man einen gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt und diese nach k auflöst.
Was ist eine Funktionenschar und wie berechnet man sie?
#690

Eine Funktionenschar ist gegeben durch eine Funktionsgleichung mit (mindestens) einem Parameter. Jeder Parameterwert liefert eine spezielle Funktion. Insofern ist durch die Gleichung der Funktionenschar eine Menge an Kurven gegeben.

Mit der Funktionsgleichung der Schar kann man rechnen wie mit einer Funktionsgleichung ohne Parameter (Punkt-Koordinaten einsetzen, ableiten, ...). Der Parameter wird dabei behandelt wie eine Zahl.

Beispiel
Bestimme alle Extremstellen der Funktionenschar f
a
x
=
x
3
−
ax
2
+
a
2
 
in Abhängigkeit vom Scharparameter a (a>0)
Wie bestimmt man die Funktionsgleichung einer Tangentenschar zu einem Funktionsgraphen?
#1206
Die Schar aller Tangenten an einen Funktionsgraphen im Punkt (a|f(a)) kann durch eine Funktionsgeichung angegeben werden. Zur Ermittlung dieser Funktionsgleichung geht man genauso vor wie bei einer einzelnen Tangente. Der einzige Unterschied besteht darin, dass man mit allgemeinen Koordinaten a und f(a) rechnen muss statt mit festen Werten.
Beispiel
f
 
x
=
x
3
−
2x
+
1
Bestimme die Gleichung für die Schar der Tangenten 
T
a
 an 
G
f
 im Punkt (a|f(a)).
graphik
Was ist eine Ortskurve und wie bestimmt man ihre Gleichung?
#691

Eine Kurve, auf der alle Punkte einer Funktionenschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen, wird als Ortskurve bezeichnet.

Sind die Koordinaten der betrachteten Punkte (z.B. Hoch- oder Tiefpunkte) in Abhängigkeit von einem Parameter a gegeben, erhält man die Gleichung der Ortskurve in zwei Schritten:

  • Auflösen der x-Koordinatengleichung nach a
  • Einsetzen in die y-Koordinatengleichung
Beispiel
Bestimme die Ortskurve der Scheitelpunkte der Funktionenscharen
f
a
x
=
x
2
+
a und
g
a
x
=
x
2
−
ax
+
1
4
 
a
2
+
1
4
 
a
Beispiel
Gegeben ist die Schar von Funktionen 
f
k
 mit  
f
k
 
x
=
x
·
e
1
−
x
k
,  Definitionsmenge 
D
f
 
=
 
ℝ
 und 
k
 
∈
 
ℝ
+
. Der Graph von 
f
k
 wird mit 
G
k
 bezeichnet.
a) Gib die Nullstellen und das Verhalten von 
f
k
 für x→±∞ an.
b) Bestimme Lage und Art des Extrempunkts von 
G
k
 in Abhängigkeit von k.
c) Begründe, dass die Extrempunkte aller Graphen der Schar auf einer Halbgerade liegen, und beschreibe die Lage dieser Halbgerade im Koordinatensystem.
d) Weise nach, dass alle Graphen der Funktionenschar im Ursprung die gleiche Tangente besitzen, und gib eine Gleichung dieser Tangente an.
e) Bestimme den Wert für 
k
 so, dass 
G
k
 durch den Punkt 
6
 
|
 
6
e
2
 verläuft, und zeichne den Graphen der zugehörigen Scharfunktion unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse.