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4.5 Scheitelpunktform, Matheübungen
- Lehrwerk Fundamente der Mathematik (5.-9. Klasse)
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Hilfe
Beispielaufgabe
Um zu überprüfen, ob ein Punkt (a|b) über, auf oder unter dem Graphen einer Funktion liegt, setzt man a in den Funktionsterm f(x) ein. Der Punkt liegt
über dem Graphen, wenn b > f(a)
auf dem Graphen, wenn b = f(a)
unter dem Graphen, wenn b < f(a)
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Prüfe, ob die Punkte über, auf oder unter der Parabel liegen.
Zwischenschritte aktivieren
y
=
x
−
2
3
2
−
1
A(-1|2); B(-1|1,8)
A liegt
?
über
auf
unter
der Parabel.
B liegt
?
über
auf
unter
der Parabel.
Notizfeld
Notizfeld
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Tastatur für Sonderzeichen
+
-
*
:
/
√
^
∞
<
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Stoff zum Thema (+Video)
Was lässt sich über die Graphen der Funktionen folgender Gleichungen jeweils aussagen: y = x², y = (x + 2)², y = x² + 2, y = (x - 1)² + 3?
#230
y = x²:
Normalparabel mit Scheitel S im Ursprung
y = (x + 2)²:
Um 2 nach links (bei "x − 2" nach rechts) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(-2|0)
y = x² + 2:
Um 2 nach oben (bei "x − 2" nach unten) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(0|2)
y = (x − 1)² + 3:
Um 1 nach rechts und um 3 nach oben verschobene Normalparabel, also Scheitel S(1|3)
Diese Zusammenhänge gelten auch, wenn ein Faktor vor x² bzw. (...)² steht.
Beispiel
Gib die Koordinaten des Scheitels an.
y
=
3
·
x
+
5
2
Wie bestimmt man das Maximum bzw. Minimum einer Parabelfunktion und wann tritt es auf?
#1117
Der Scheitelpunkt einer Parabel gibt an, wo die zugehörige Funktion ein Maximum/Minimum hat und wie groß dieses ist. Wenn x
S
die x-Koordinate und y
S
die y-Koordinate des Scheitels ist, so hat die Funktion an der Stelle x
S
das Maximum bzw. Minimum y
S
.
Bei einer nach oben geöffneten Parabel liegt ein Minimum, bei einer nach unten geöffneten Parabel ein Maximum vor.
Wie überprüft man, ob ein Punkt bezüglich eines Funktionsgraphen auf, über oder unter diesem liegt?
#234
Um zu überprüfen, ob ein Punkt (a|b) über, auf oder unter dem Graphen einer Funktion liegt, setzt man a in den Funktionsterm f(x) ein. Der Punkt liegt
über dem Graphen, wenn b > f(a)
auf dem Graphen, wenn b = f(a)
unter dem Graphen, wenn b < f(a)
Beispiel
f:
y
=
−
1
2
x
2
−
x
+
8
;
A
−
5
|
−
1
;
B
−
2
|
9
;
C
1
|
6,5
Gib jeweils an, ob der der Punkt über, auf oder unter der Parabel liegt.
Wie erstellt man eine Wertetabelle für eine Funktion und was bedeuten die Einträge?
#235
In einer Wertetabelle sind x- und y-Werte einander gegenübergestellt. Die Wertetabelle erhält man, indem man vorgegebene x-Werte in den Funktionsterm einsetzt und so die zugehörigen y-Werte ausrechnet. Die (x|y)-Paare sind Punkte des Grafen.
Wie beeinflussen die Parameter a, x
S
und y
S
die Form und Lage einer Parabel mit der Gleichung y = a⋅(x - x
S
)² + y
S
?
#913
Durch die Gleichung
y = a⋅(x - x
S
)² + y
S
(a≠0)
ist eine Parabel mit den Scheitelkoordinaten
x
S
und
y
S
gegeben, die gegenüber der Normalparabel mit der Gleichung
y = x²
nach unten geöffnet ist, falls a negativ ist und
evtl. gestreckt (falls |a|>1) bzw. gestaucht (falls |a|<1) ist.
Beispiel
Abgebildet ist die Parabel mit der Gleichung
y
=
a
·
x
−
x
S
2
+
y
S
Bestimme a,
x
S
und
y
S
.
Wie zeichnet man eine Parabel in Scheitelform ohne Wertetabelle?
#917
Um eine in Scheitelform gegebene Parabel mit der Gleichung y=a·(x−x
S
)²+y
S
ohne Wertetabelle zu zeichnen, geht man am besten vom Scheitel S aus nacheinander um 1, 2, 3 usw. Einheiten nach rechts und dabei um a·1², a·2², a·3² usw. Einheiten nach oben (a>0) oder unten (a<0). Somit erhält man den rechten Parabelast. Der linke ergibt sich durch Spiegelung.
Beispiel
Zeichne die Parabel mit der Gleichung
y
=
1
2
x
−
3
2
+
1
in ein Koordinatensystem. Benutze dabei weder den Taschenrechner noch eine schriftliche Wertetabelle.
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