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4.5 Scheitelpunktform, Mathe-Übungen
- Lehrwerk Fundamente der Mathematik (5.-9. Klasse)
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Nullstellen sind die x-Werte, bei denen die Parabel die x-Achse schneidet, also der y-Wert gleich Null wird.
Beispielaufgabe
+Video
Um eine in Scheitelform gegebene Parabel mit der Gleichung y=a·(x−x
S
)²+y
S
ohne Wertetabelle zu zeichnen, geht man am besten vom Scheitel S aus nacheinander um 1, 2, 3 usw. Einheiten nach rechts und dabei um a·1², a·2², a·3² usw. Einheiten nach oben (a>0) oder unten (a<0). Somit erhält man den rechten Parabelast. Der linke ergibt sich durch Spiegelung.
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
TIPP
GeoGebra:
Für diese Aufgabe steht dir GeoGebra zur Verfügung. Damit kannst du Konstruktionen direkt am Bildschirm durchführen. Klicke unten rechts auf das orange GeoGebra-Symbol, um die Aufgabe mit Hilfe von GeoGebra zu bearbeiten.
Zeichne die gegebene Parabel und lies die Nullstellen der Parabel aus der Zeichnung möglichst genau ab.
y
=
0,5
·
x
−
1
2
−
2
Die Nullstellen der Parabel sind bei:
x
1
=
x
2
=
GeoGebra
GeoGebra
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
+
-
*
:
/
√
^
∞
<
>
!
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
GeoGebra-Editor
Für diese Aufgabe steht dir GeoGebra zur Verfügung. Damit kannst du Konstruktionen direkt am Bildschirm durchführen.
Geogebra-Editor anzeigen
y = 0,5⋅(x - 1)² - 2
Wenn du mit der Konstruktion fertig bist, scrolle zurück nach oben und gib bei der Aufgabe das passende Ergebnis ein.
Zum Ändern der Größe gestrichelte Linie ziehen
Stoff zum Thema (+Video)
y = x²:
Normalparabel mit Scheitel S im Ursprung
y = (x + 2)²:
Um 2 nach links (bei "x − 2" nach rechts) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(-2|0)
y = x² + 2:
Um 2 nach oben (bei "x − 2" nach unten) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(0|2)
y = (x − 1)² + 3:
Um 1 nach rechts und um 3 nach oben verschobene Normalparabel, also Scheitel S(1|3)
Diese Zusammenhänge gelten auch, wenn ein Faktor vor x² bzw. (...)² steht.
Beispiel
Gib die Koordinaten des Scheitels an.
y
=
3
·
x
+
5
2
Der Scheitelpunkt einer Parabel gibt an, wo die zugehörige Funktion ein Maximum/Minimum hat und wie groß dieses ist. Wenn x
S
die x-Koordinate und y
S
die y-Koordinate des Scheitels ist, so hat die Funktion an der Stelle x
S
das Maximum bzw. Minimum y
S
.
Bei einer nach oben geöffneten Parabel liegt ein Minimum, bei einer nach unten geöffneten Parabel ein Maximum vor.
Um zu überprüfen, ob ein Punkt (a|b) über, auf oder unter dem Graphen einer Funktion liegt, setzt man a in den Funktionsterm f(x) ein. Der Punkt liegt
über dem Graphen, wenn b > f(a)
auf dem Graphen, wenn b = f(a)
unter dem Graphen, wenn b < f(a)
Beispiel
f:
y
=
−
1
2
x
2
−
x
+
8
;
A
−
5
|
−
1
;
B
−
2
|
9
;
C
1
|
6,5
Gib jeweils an, ob der der Punkt über, auf oder unter der Parabel liegt.
In einer Wertetabelle sind x- und y-Werte einander gegenübergestellt. Die Wertetabelle erhält man, indem man vorgegebene x-Werte in den Funktionsterm einsetzt und so die zugehörigen y-Werte ausrechnet. Die (x|y)-Paare sind Punkte des Grafen.
Durch die Gleichung
y = a⋅(x - x
S
)² + y
S
(a≠0)
ist eine Parabel mit den Scheitelkoordinaten
x
S
und
y
S
gegeben, die gegenüber der Normalparabel mit der Gleichung
y = x²
nach unten geöffnet ist, falls a negativ ist und
evtl. gestreckt (falls |a|>1) bzw. gestaucht (falls |a|<1) ist.
Beispiel
Abgebildet ist die Parabel mit der Gleichung
y
=
a
·
x
−
x
S
2
+
y
S
Bestimme a,
x
S
und
y
S
.
Um eine in Scheitelform gegebene Parabel mit der Gleichung y=a·(x−x
S
)²+y
S
ohne Wertetabelle zu zeichnen, geht man am besten vom Scheitel S aus nacheinander um 1, 2, 3 usw. Einheiten nach rechts und dabei um a·1², a·2², a·3² usw. Einheiten nach oben (a>0) oder unten (a<0). Somit erhält man den rechten Parabelast. Der linke ergibt sich durch Spiegelung.
Beispiel
Zeichne die Parabel mit der Gleichung
y
=
1
2
x
−
3
2
+
1
in ein Koordinatensystem. Benutze dabei weder den Taschenrechner noch eine schriftliche Wertetabelle.
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