4.5 Vermischte Übungen, Matheübungen

Quadratische Gleichungen und Gleichungssysteme - Lehrwerk Westermann (5.-10. Klasse)

Hilfe
  • Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Daher hat eine quadratische Gleichung der Form
    • (x − 1)⋅(x + 2) = 0 die zwei Lösungen 1 und -2
    • (x − 3)² = 0 nur die Lösung 3
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Wähle alle Gleichungen aus, die...

  • ...
     
    x
    =
    −
    2
     
    als einzige(!) Lösung besitzen:
    x
    −
    1
     
    x
    +
    2
    =
    0
    x
    +
    2
    2
    =
    0
    x
    ·
    x
    +
    2
    =
    0
    x
    +
    2
    2
    +
    1
    =
    0
    −
    3
     
    x
    +
    2
    3
    =
    0
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keine Berechtigung
Wie identifiziert man die Koeffizienten a, b und c in einer quadratischen Gleichung?
#241
Merke:
  • a ist der x² zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x² steht)
  • b ist der x zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x steht). Kommt x in der Gleichung nicht vor, so ist b = 0.
  • c ist die Konstante (d.h. c steht solo, ohne x oder x²). Kommt keine Konstante in der Gleichung vor, so ist c = 0.
Wie kann eine quadratische Gleichung eine oder zwei Lösungen haben? Gib jeweils ein Beispiel und begründe dies.
#433
Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Daher hat eine quadratische Gleichung der Form
  • (x − 1)⋅(x + 2) = 0 die zwei Lösungen 1 und -2
  • (x − 3)² = 0 nur die Lösung 3
Beispiel
Gib eine quadratische Gleichungen an, die als einzige Lösung x = -5 hat.
Was sind die rückwärts gerichteten binomischen Formeln und wie werden sie angewendet?
#266

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten in der Rückwärtsversion:

  1. a² + 2ab + b² = (a + b)²
  2. a² − 2ab + b² = (a − b)²
  3. a² − b² = (a + b) (a − b)

In dieser Richtung (links ohne Klammer, rechts mit) ermöglichen die Formeln, eine Summe oder Differenz in ein Produkt umzuformen ("faktorisieren"). Hier ist es wichtig, dass man den linken Term erst einmal überprüft: Liegt die passende Struktur für eine BF vor? Eine Probe (andere Richtung) gibt Gewissheit.

Beispiel
Löse durch Faktorisieren:
x
2
−
1
9
=
0
Was besagt der Satz vom Nullprodukt und was sind Vielfachheiten von Lösungen?
#693
Der Satz vom Nullprodukt sagt:

Ein Produkt von zwei Zahlen ist genau dann null, wenn (mindetens) ein Faktor null ist.

In formalerer Schreibweise: Aus a·b = 0 folgt a = 0 und/oder b = 0 und umgekehrt.

Vielfachheit von Lösungen:

Die Gleichung (x − 1)2 = 0 hat nur die Lösung x = 1, da der Faktor (x − 1) aber zwei Mal auftritt, sagt man, dass x = 1 eine zweifache Lösung ist.

Entsprechend gibt es einfache, dreifache usw. Lösungen.

Beispiel
Löse die Gleichung.
x
−
1
·
3x
−
5
2
=
0
Wie viele Nullstellen kann eine quadratische Funktion haben und wie bestimmt man diese?
#993
Eine quadratischen Funktion kann maximal zwei Nullstellen haben. Deren Bestimmung läuft auf das Lösen einer quadratischen Gleichung hinaus. Je nachdem, in welcher Form der Funktionsterm gegeben ist, wendet man die Lösungsformel (Mitternachtsformel oder p-q-Formel) an oder wählt ein leichteres Verfahren:
  • Scheitelpunktform: forme die Gleichung um in (x+...)2=... und radiziere dann auf beiden Seiten
  • Nullstellenform: die Nullstellen können ohne weitere Rechnung abgelesen werden