4.GFS-Thema: Symmetrie von Graphen, Matheübungen

Untersuchung auf Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung - G8 Lehrwerk Lambacher Schweizer - 30 Aufgaben in 5 Levels

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  • Beispiel zum Level
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Stoff zum Level
    • Achsensymmetrie zur y-Achse:
    Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
    f(x) = f(-x)

    • Punktsymmetrie zum Ursprung:
    Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
    -f(x) = f(-x)

    • Spezialfall: ganzrationale Funktionen

    f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur gerade Exponenten auftauchen.
    Also gilt:
    Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

    -f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur ungerade Exponenten auftauchen.
    Also gilt:
    Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

    • Hinweis:
    Die einzige Funktion deren Graph sowohl achsensymmetrisch zur y-Achse also auch punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist f(x)=0.
  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 2
  • Untersuche, ob der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
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    • f
     
    x
    =
    3x
    −
    5
    2
    Der Graph
    ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
    ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
    ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Beispiel
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Lösung
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Stoff zum Thema
Wie erkennt man Achsen- und Punktsymmetrie bei Funktionen, insbesondere bei ganzrationalen Funktionen?
#758
  • Achsensymmetrie zur y-Achse:
Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
f(x) = f(-x)

  • Punktsymmetrie zum Ursprung:
Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
-f(x) = f(-x)

  • Spezialfall: ganzrationale Funktionen

f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur gerade Exponenten auftauchen.
Also gilt:
Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

-f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur ungerade Exponenten auftauchen.
Also gilt:
Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

  • Hinweis:
Die einzige Funktion deren Graph sowohl achsensymmetrisch zur y-Achse also auch punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist f(x)=0.
Beispiel 1
Untersuche, ob der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
a) 
f
 
x
=
x
−
2
·
x
+
2
b) 
f
 
x
=
−
0,4x
3
+
2x
c) 
f
 
x
=
0,1x
−
0,3
·
0,5
−
2x
Beispiel 2
Untersuche, ob der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
a) 
f
 
x
=
5x
2
x
2
+
2
b) 
f
 
x
=
5x
2
x
3
+
2x
c) 
f
 
x
=
5x
2
x
3
+
2
Welche Eigenschaften hat der Graph einer ganzrationalen Funktion mit nur ungeraden Exponenten und einem negativen Leitkoeffizienten?
#1524

Ganzrationale Funktion:

\(f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\) mit \(a_n\neq0\)

Der Grad ist die höchste auftretende Potenz, \(a_n\) heißt Leitkoeffizient

Nullstellen und Vielfachheit:

In der Form \(f(x)=a\,(x-x_1)^{k_1}\cdot\ldots\cdot(x-x_m)^{k_m}\)

\(x_i\) sind Nullstellen, \(k_i\) sind die Vielfachheiten

Die Summe der Vielfachheiten aller reellen Nullstellen ist höchstens so groß wie der Grad. 

ungerade Vielfachheit: Vorzeichenwechsel

gerade Vielfachheit: Berührung der \(x\)-Achse

Verhalten im Unendlichen:

Entscheidend sind nur Grad und Leitkoeffizient:

\(n\) gerade: beide Enden des Graphen zeigen in die gleiche Richtung

\(n\) ungerade: beide Enden des Graphen zeigen in entgegengesetzte Richtungen

\(a_n>0\): Graph verläuft nach rechts oben 

\(a_n<0\): Graph verläuft nach rechts unten

Symmetrie:

achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse: \(f(-x)=f(x)\), nur gerade Potenzen

punktsymmetrisch zum Ursprung: \(f(-x)=-f(x)\), nur ungerade Potenzen

Punktsymmetrie bedeutet stets eine Nullstelle bei \(0\)

Beispiel

Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und hat bei \(x=3\) eine doppelte Nullstelle. Er verläuft von links unten nach rechts unten.

Gib eine passende Funktionsgleichung an.