4. Intergralrechnung, Matheübungen

- Lehrplan (im Aufbau)

Hilfe
  • Integrand = Differenz der Funktionsterme "oben minus unten" (zusammengefasst)
  • Besitzen die Graphen zweier Funktionen f und g im Intervall ]a;b[ keinen Schnittpunkt, so erhält man die Fläche, die sie in diesem Intervall einschließen, durch Integration der Differenz f − g zwischen den Integrationsgrenzen a und b. Bei negativem Integralwert (wenn f < g im betrachteten Intervall) ist der Betrag davon zu nehmen.

Berechne den markierten Flächeninhalt durch Integration.

  • graphik
    Schritt 1/3
    Welcher Ansatz stimmt? Achtung: um das Integral stehen keine Betragstriche!
     
    A
    =
    1,35
    −
    3
    1,35
    −
    −
    0,75x
     
    dx
     
    A
    =
    1,35
    −
    3
    −
    0,75x
    −
    1,35
     
    dx
     
    A
    =
    4
    0
    −
    0,75x
    −
    1,35
     
    dx
     
    A
    =
    4
    0
    1,35
    −
    −
    0,75x
     
    dx
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Wie berechnet man die Stammfunktion einer Potenzfunktion?
#570
Stammfunktion einer Potenzfunktion: Für alle ganzen Zahlen n ≠ -1 gilt

∫ xn dx = 1 / (n + 1) · xn + 1 + C

Man geht also umgekehrt zum Ableiten vor: beim Ableiten wird zuerst mit n multipliziert, dann der Exponent n um 1 reduziert. Beim Bilden der Stammfunktion wird zuerst der Exponent n um 1 vergrößert, dann durch n+1 geteilt.

Spezialfall n = -1:

∫ 1/x dx = ln |x| + C

Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Graphen ohne Schnittpunkte in einem Intervall?
#578
Besitzen die Graphen zweier Funktionen f und g im Intervall ]a;b[ keinen Schnittpunkt, so erhält man die Fläche, die sie in diesem Intervall einschließen, durch Integration der Differenz f − g zwischen den Integrationsgrenzen a und b. Bei negativem Integralwert (wenn f < g im betrachteten Intervall) ist der Betrag davon zu nehmen.
Wie bestimmt man die Fläche unter einem Graphen ohne Schnittpunkte mit der x-Achse?
#577
Besitzt der Graph einer Funktion im Intervall ]a;b[ keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, so erhält man die Fläche, die er in diesem Intervall mit der x-Achse einschließt durch Integration von f zwischen den Integrationsgrenzen a und b. Bei negativem Integralwert (wenn das betrachtete Flächenstück unter der x-Achse liegt) ist der Betrag davon zu nehmen.
Wie bestimmt man die Fläche zwischen zwei Graphen in einem Intervall, wenn deren Verlauf unbekannt ist?
#569
Um die Fläche zu ermitteln, die zwischen zwei Graphen Gf und Gg im Intervall I = [a;b] (d.h. nach links und rechts begrenzt durch die Vertikalen x = a und x = b) liegt, gehe wie folgt vor:
  1. Bilde die Differenz d = f − g und vereinfache den Term so weit wie möglich.
  2. Ermittle eine Stammfunktion D von d.
  3. Überprüfe, ob und wo sich beide Graphen im Intervall I schneiden. Kommst du mit dem Ansatz f(x) = g(x) rechnerisch nicht weiter, führt evtl. eine Skizze weiter (es reicht, wenn Schnittstellen durch die Skizze ausgeschlossen werden können!).
  4. Evtl. Schnittstellen, die im Intervall I liegen, unterteilen I in Teilintervalle. Integriere nun die Differenz d über die einzelnen Teilintervalle. Dabei kannst du immer auf dieselbe Stammfunktion D zurückgreifen.
  5. Addiere zum Schluss die BETRÄGE der einzelnen Integrale.
Beispiel
Bestimme den Inhalt der Fläche, welche von den beiden Parabeln p und q mit 
p
 
x
=
x
2
+
1
 und 
q
 
x
=
−
x
2
+
9
 eingeschlossen wird.