5.3 Die zentrische Streckung, Matheübungen

Strahlensätze - Lehrwerk Lambacher Schweizer

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  • Zentrische Streckung

    Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert. Dabei gilt:

    • Alle Streckenpaare von Ursprungs-Figur und Bild sind jeweils parallel.
    • Streckzentrum, Punkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
    • Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkel gleich groß.
    • Der Streckfaktor gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. |k| = ZA' : ZA.

    Was uns der Streckfaktor k sagt...:

    • k positiv ⇒ Figur und Bild liegen auf der selben Seite des Streckzentrums.
    • k negativ ⇒ Figur und Bild liegen auf unterschiedlichen Seiten des Streckzentrums.
    • |k| > 1 ⇒ Bild ist vergrößert.
    • |k| < 1 ⇒ Bild ist verkleinert.
    • Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
    • Flächeninhalt des Bildes ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Ausgangsfigur.

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Auf dieser Stufe findest du gemischte Aufgaben. Strecke jeweils die gegebene Figur am Streckzentrum Z mit Streckfaktor k. Gib die Koordinaten der entstehenden Figur an.

  • Dreieck ABC mit:
    A
     
    1
     
    |
     
    0
    ;
    B
     
    3
     
    |
     
    2
    ;
    C
     
    0
     
    |
     
    2,5
    Streckzentrum:
    Z
     
    −
    1
     
    |
     
    −
    1
    Streckfaktor:
    k
    =
    2
    Koordinaten der gestreckten Figur:
    A'
     
     
    |
     
    B'
     
     
    |
     
    C'
     
     
    |
     
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    Notizfeld
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keine Berechtigung
Was ist eine zentrische Streckung und welche Eigenschaften sowie Auswirkungen hat der Streckungsfaktor k?
#882

Zentrische Streckung

Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert (oder bleibt gleich). Dabei gilt:

  • Alle Streckenpaare von Urfigur und Bildfigur sind jeweils parallel (oder identisch).
  • Streckungszentrum Z, Urpunkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
  • Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkelmaße gleich groß.
  • Der Streckungsfaktor k gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. |k |=| ZA'| : |ZA|.

Was uns der Streckfaktor k sagt...:

  • k positiv ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf derselben Seite von Z.
  • k negativ ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf unterschiedlichen Seiten von Z.
  • |k| > 1 ⇒ Bildfigur ist vergrößert.
  • |k| < 1 ⇒ Bildfigur ist verkleinert.
  • Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
  • Flächeninhalt der Bildfigur ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Urfigur.

Was ist eine zentrische Streckung und welche Eigenschaften sowie Auswirkungen hat der Streckungsfaktor k?
#676

Zentrische Streckung

Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert. Dabei gilt:

  • Alle Streckenpaare von Ursprungs-Figur und Bild sind jeweils parallel.
  • Streckzentrum, Punkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
  • Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkel gleich groß.
  • Der Streckfaktor gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. |k| = ZA' : ZA.

Was uns der Streckfaktor k sagt...:

  • k positiv ⇒ Figur und Bild liegen auf der selben Seite des Streckzentrums.
  • k negativ ⇒ Figur und Bild liegen auf unterschiedlichen Seiten des Streckzentrums.
  • |k| > 1 ⇒ Bild ist vergrößert.
  • |k| < 1 ⇒ Bild ist verkleinert.
  • Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
  • Flächeninhalt des Bildes ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Ausgangsfigur.

Beispiel 1
Die blaue Figur ist aus der roten Figur durch eine zentrische Streckung entstanden. Zeichne die Figuren in ein Koordinatensystem und ermittle das Streckzentrum Z und den Streckfaktor k.
graphik
Z
 
?
 
|
 
?
k
=
?
Beispiel 2
Strecke das Viereck ABCD am Streckzentrum Z mit Streckfaktor k.
A
 
1
 
|
 
0
B
 
3
 
|
 
1
C
 
2
 
|
 
1
D
 
−
1
 
|
 
4
Streckzentrum:
Z
 
−
2
 
|
 
2
Streckfaktor:
k
=
2
Gib die Koordinaten der gestreckten Figur an.
A'
 
?
 
|
 
?
B'
 
?
 
|
 
?
C'
 
?
 
|
 
?
D'
 
?
 
|
 
?