5.4 Wendestellen und Wendepunkte, Matheübungen

Anwendungen der Differentialrechnung - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse) - 17 Aufgaben in 5 Levels

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    Sei a eine Nullstelle der ersten Ableitung, also f ´(a) = 0. Dann gilt:

    f ´´ (a ) < 0 ⇒ relatives Maximum bei x = a

    f ´´ (a ) > 0 ⇒ relatives Minimum bei x = a

    Vorsicht: Aus f ´´ (a) = 0 folgt NICHT, dass kein relatives Extremum vorliegt. Überprüfe in diesem Fall f ´ auf Vorzeichenwechsel an der Nullstelle x = a. Zur Erinnerung:

    VZW +/- von f ´ ⇔ relatives Maximum

    VZW -/+ von f ´ ⇔ relatives Minimum

    kein VZW von f´ ⇔ Terrassenpunkt

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 5
  • Sei f eine in ganz IR zweimal differenzierbare Funktion. Entscheide aufgrund der gegebenen Informationen, welche Aussage für f bzw. Gf an den Stellen x = a, x = b und x = c jeweils zutrifft. Legende: "+/-" bedeutet "positiver/negativer Wert", "VZW" steht für "Nullstelle mit Vorzeichenwechsel".
    • x
    a
    b
    c
    f ´ (x)
    0
    −
    1
    f ´´(x)
    −
    VZW
    VZW
    Relatives Minimum bei x
    =
    a
    Terrassenpunkt bei x
    =
    b
    Wendepunkt bei x
    =
    c
     
         
     
     
    ja
     
         
     
    nein
     
         
     
    vielleicht
    ja
     
         
     
    nein
     
         
     
    vielleicht
    ja
     
         
     
    nein
     
         
     
    vielleicht
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Stoff zum Thema
Was ist ein Wendepunkt und wie bestimmt man ihn rechnerisch?
#517
Stellen, an denen sich die Krümmung eines Graphen ändert, nennt man Wendepunkte. Sofern f zweimal differenzierbar ist, gilt der Zusammenhang:

Gf besitzt einen Wendepunkt an der Stelle x = a

⇔

f ´´ (a) = 0 und Vorzeichenwechsel von f ´´ bei x = a

Beispiel
Bestimme sämtliche Wendepunkte von Gf sowie die Gleichung(en) ihrer Wendetangente(n).
f
 
x
=
−
1
4
 
x
3
+
6x
2
−
45x
−
1
Wie bestimmt man den Funktionsterm einer Polynomfunktion n-ten Grades anhand gegebener Grapheneigenschaften?
#681

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades besitzt n+1 Unbekannte. Zur eindeutigen Bestimmung der Funktionsgleichung wird ein Gleichungssystem benötigt, das n+1 Gleichungen enthält.

Vorgehensweise, um die Funktionsgleichung zu bestimmen:

  1. Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung mit ihren Ableitungen auf.
  2. "Übersetze" alle gegebenen Eigenschaften in mathematische Gleichungen.
  3. Stelle das Gleichungssystem auf, indem du die Koordinaten in die gefundenen Gleichungen einsetzt.
  4. Löse das Gleichungssystem
  5. Setze die gefundene Lösung in die Funktionsgleichung ein

Beispiel
Eine Funktion 4. Grades hat verläuft durch den Ursprung und besitzt in H(2|3) einen Hochpunkt, in T(4|-2) einen Tiefpunkt. Reicht die gegebene Information aus, um die Gleichung der ganzrationalen Funktion eindeutig zu bestimmen?
Wie bestimmt man die Funktionsgleichung einer Tangentenschar zu einem Funktionsgraphen?
#1206
Die Schar aller Tangenten an einen Funktionsgraphen im Punkt (a|f(a)) kann durch eine Funktionsgeichung angegeben werden. Zur Ermittlung dieser Funktionsgleichung geht man genauso vor wie bei einer einzelnen Tangente. Der einzige Unterschied besteht darin, dass man mit allgemeinen Koordinaten a und f(a) rechnen muss statt mit festen Werten.
Beispiel
f
 
x
=
x
3
−
2x
+
1
Bestimme die Gleichung für die Schar der Tangenten 
T
a
 an 
G
f
 im Punkt (a|f(a)).
graphik
Wie kann man mit der zweiten Ableitung feststellen, ob an einer Nullstelle der ersten Ableitung ein relatives Extremum vorliegt und welcher Art es ist?
#516

Sei a eine Nullstelle der ersten Ableitung, also f ´(a) = 0. Dann gilt:

f ´´ (a ) < 0 ⇒ relatives Maximum bei x = a

f ´´ (a ) > 0 ⇒ relatives Minimum bei x = a

Vorsicht: Aus f ´´ (a) = 0 folgt NICHT, dass kein relatives Extremum vorliegt. Überprüfe in diesem Fall f ´ auf Vorzeichenwechsel an der Nullstelle x = a. Zur Erinnerung:

VZW +/- von f ´ ⇔ relatives Maximum

VZW -/+ von f ´ ⇔ relatives Minimum

kein VZW von f´ ⇔ Terrassenpunkt