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5.5 Geraden durch zwei Punkte, Mathe-Übungen
Lineare Funktionen - Lehrwerk Fundamente der Mathematik (5.-9. Klasse)
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Ist eine Gerade durch zwei Punkte gegeben, so geht man wie folgt vor, um ihre Gleichung, sprich m und b, zu ermitteln:
Bestimme zunächst die Steigung m = Δy / Δx .
Setze dann in die Gleichung y = m·x + b die Koordinaten von einem der beiden Punkte ein und löse die Gleichung nach b auf.
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Bestimme durch Rechnung die Geradengleichung.
Zwischenschritte aktivieren
g geht durch die Punkte P
1
|
−
2
3
und Q
1
3
|
5
.
g:
y
=
x
+
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
+
-
*
:
/
√
^
∞
<
>
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Stoff zum Thema (+Video)
Ist eine Gerade g durch zwei Punkte A(x
1
|y
1
) und B(x
2
|y
2
) gegeben, so kann man ihre Steigung m so berechnen:
Berechne die Differenz der y-Werte beider Punkte, also Δy = y
2
− y
1
.
Berechne ebenso die Differenz der x-Werte beider Punkte, also Δx = x
2
− x
1
.
Der Bruch Δy / Δx ergibt die Steigung m.
Beispiel
Ermittle die Steigung der Gerade, die durch die Punkte (-1,5 | 2,5) und (0 | -3) geht.
Ist eine Gerade g durch ihre Steigung m und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man den y-Achsenabschnitt b leicht bestimmen:
Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + b (für m setze die bekannte Steigung ein).
Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten b auf.
Beispiel
Wo schneidet die Gerade, die durch
m
=
−
1,6
und P(2|−0,5) gegeben ist, die y-Achse?
Ist eine Gerade g durch ihren y-Achsenabschnitt b und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man die Steigung m leicht bestimmen:
Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + b (für b setze den bekannten y-Achsenabschnitt ein).
Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten m auf.
Beispiel
Welche Steigung hat die Gerade, deren Achsenabschnitt b = 2,5 ist und die durch den Punkt P(2 | -0,5) verläuft?
Wie lautet die Geradengleichung?
Ist eine Gerade durch zwei Punkte gegeben, so geht man wie folgt vor, um ihre Gleichung, sprich m und b, zu ermitteln:
Bestimme zunächst die Steigung m = Δy / Δx .
Setze dann in die Gleichung y = m·x + b die Koordinaten von einem der beiden Punkte ein und löse die Gleichung nach b auf.
Beispiel
Ermittle die Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte P
1
(−3|2) und P
2
(5|−4) geht.
Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die x-Koordinate bekannt ist, erhält man die y-Koordinate, indem man die x-Koordinate in den Funktionsterm einsetzt und den Wert des Funktionsterms berechnet. Das Ergebnis ist die y-Koordinate.
Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die y-Koordinate bekannt ist, erhält man die x-Koordinate, indem man den Funktionsterm gleich der y-Koordinate setzt und die entstehende Gleichung nach x auflöst. Das Ergebnis ist die x-Koordinate.
Beispiel
Die beiden Punkte liegen auf der Geraden. Berechne die fehlenden Werte.
Gerade:
y
=
3
·
x
−
1
Punkte:
P
−
2
|
?
Q
?
|
14
Um zu überprüfen, ob ein Punkt P(x | y) auf der Geraden liegt, setzt man den x-Wert in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert. Ist das Ergebnis der y-Wert des Punktes, dann liegt der Punkt auf der Geraden.
Beispiel
Liegt der Punkt P auf der Geraden g?
Gerade:
y
=
2
·
x
+
5
Punkt:
P
3
|
10
Um zu überprüfen, ob ein Punkt (a|b) über, auf oder unter dem Graphen einer Funktion liegt, setzt man a in den Funktionsterm f(x) ein. Der Punkt liegt
über dem Graphen, wenn b > f(a)
auf dem Graphen, wenn b = f(a)
unter dem Graphen, wenn b < f(a)
Beispiel
g:
y
=
−
1
3
x
+
2
3
;
A
2
|
0
;
B
−
4
|
2,5
;
C
8
|
−
3
Gib jeweils an, ob der der Punkt über, auf oder unter der Geraden liegt.
Liegen drei Punkte auf einer Geraden?
Sind drei Punkte
A(x
A
|y
A
), B(x
B
|y
B
)
und
C(x
C
|y
C
)
gegeben, dann stelle eine Geradengleichung durch zwei Punkte, etwa A und B auf:
Berechne
Δy = y
B
− y
A
und
Δx = x
B
− x
A
Berechne Steigung
m = Δy/Δx
Berechne y-Achsenabschnitt
b = y
A
− m⋅x
A
Setze m und b in die allgemeine Geradengleichung ein:
y =
m
⋅x +
b
Setze dann Punkt C ein:
y
C
= m⋅
x
C
+ b
Erhältst du rechts und links vom Gleichheitszeichen die gleiche Zahl, liegen die drei Punkte auf einer Geraden, ansonsten nicht.
Beispiel
Liegen die drei Punkte auf einer Geraden?
A(1|2),
B(3|8)
und
C(4|9)
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