5.5 Untersuchung ganzrationaler Funktionen, Matheübungen

Anwendungen der Differentialrechnung - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-12. Klasse)

Löse die Fragestellung im Sachzusammenhang.

  • graphik
    Eine Autofahrerin möchte nicht hinter einem langsamen Traktor herfahren, beschleunigt daher ihren PKW, überholt den Traktor und ordnet sich vor dem Traktor wieder mit etwas gemäßigterer Geschwindigkeit ein. Dieser Vorgang wird durch die in 
    [0; 10]
     definierte Funktion f mit 
    f
     
    x
    =
    −
    1
    6
     
    x
    3
    +
    3
     
    x
    2
    +
    14
     
    x
     modelliert, deren Graph oben abgebildet ist. Dabei entspricht x der Zeit in Sekunden und 
    f
     
    x
     der zurückgelegten Strecke in Metern seit Beginn des Überholmanövers.
    Ermittle die Geschwindigkeiten zu Beginn bzw. am Ende des Überholmanövers, sowie die maximale Geschwindigkeit der Autofahrerin bei diesem Vorgang in Metern pro Sekunde. Hinweis: Die Geschwindigkeit eines Körpers entspricht der Änderungsrate der zurückgelegten Strecke.
    Geschwindigkeit zu Beginn: 
     
    m
    s
    Maximale Geschwindigkeit: 
     
    m
    s
    Geschwindigkeit am Ende: 
     
    m
    s
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Beispiel 1
Gegeben ist die in ganz ℝ definierte Polynomfunktion mit der Funktionsgleichung 
f
 
x
=
x
+
2
 
x
2
+
2x
−
15
.
Untersuche auf/ermittle:
  • Nullstellen
  • Schnittpunkt mit der y-Achse
  • Symmetrie zum KOSY
  • Verhalten im Unendlichen
  • relative Extrempunkte einschl. Art
  • Wendepunkte
Zeichne schließlich den Graphen von f unter Einbezug aller Teilergebnisse.
Beispiel 2
f
 
x
=
x
3
−
x
2
−
5x
−
3
Diskutiere hinsichtlich Symmetrie zum Koordinatensystem, Nullstellen, Verhalten im Unendlichen, Extremwerte und Monotonie und skizziere den Graphen.