6.3 Potenzen mit rationalen Exponenten, Matheübungen

n-te Wurzel und Kehrbruch mit Hilfe von Potenzen ausdrücken, Umwandlung zwischen beiden Darstellungsformen, Lösen von Gleichungen durch geeignete Potenzierung - Lehrwerk Fokus Mathematik (5.-10. Klasse) - 74 Aufgaben in 12 Levels

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  • Hilfe zum Thema
    Sei r eine positive rationale Zahl. Dann gilt

    b−r = 1 / br

    Sei b ≥ 0 und n eine natürliche Zahl. Dann gilt

    b1/n = n√b

    Sei b ≥ 0, m und n natürliche Zahlen. Dann gilt

    bm/n = n√(bm) = (n√b)m

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 10 in Level 1
  • Berechne ohne Taschenrechner. Evtl. auftretende Brüche sind in der Form "a/b" bzw. "-a/b" anzugeben.
    • 81
    1
    2
    =
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie kann man Potenzen mit negativen oder gebrochenen Exponenten in natürliche Exponenten umformen?
#374
Sei r eine positive rationale Zahl. Dann gilt

b−r = 1 / br

Sei b ≥ 0 und n eine natürliche Zahl. Dann gilt

b1/n = n√b

Sei b ≥ 0, m und n natürliche Zahlen. Dann gilt

bm/n = n√(bm) = (n√b)m

Beispiel 1
27
2
3
=
?
 
          
 
0,75
−
2
=
?
Beispiel 2
Schreibe jeweils als Potenz (ohne Wurzelzeichen) mit möglichst einfacher Basis:
3
25
9
 
          
 
1
8
Beispiel 3
Vereinfache jeweils so, dass die Variable nicht im Nenner oder unter der Wurzel steht:
2
3x
2
 
          
 
3
64
27a
Wann gelten zwei Terme als äquivalent?
#375
Zwei Terme T1 und T2 sind äquivalent, wenn sie die gleichen Defintionsmengen besitzen und bei jeder Einsetzung aus der Definitionsmenge den selben Wert annehmen.
Beispiel
Überprüfe jeweils auf Äquivalenz:
x
2
 
und
 
x
2
 
          
 
x
2
3
 
und
 
x
3
Wie kann man die Gleichung T(x)^r = a lösen und wann gibt es keine Lösung?
#376
Sei T(x) ein beliebiger Term und r eine rationale Zahl. Die Gleichung

T(x)r = a

lässt sich (evtl.) lösen, indem man beide Seiten zunächst mit "1/r" potenziert. Dadurch erhält man:

T(x) = a1/r

Keine Lösung erhält man z.B., wenn a negativ und r
  • eine gerade Zahl ist: x² = -1 (x² nie negativ)
  • eine echt rationale Zahl ist: x1/3 = -1 (Ergebnis eines Wurzelterms nie negativ)
Beispiel
Löse die folgenden beiden Gleichungen:
1
3
 
x
+
1
−
3
4
=
8
 
          
 
3
x
2
−
2
=
−
1
2
Was sind die fünf grundlegenden Potenzgesetze?
#539
Potenzgesetze:
  1. Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.
    ap · aq = ap + q

  2. Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
    ap : aq = ap − q

  3. Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
    aq · bq = (a · b)q

  4. Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.
    aq : bq = (a : b)q

  5. Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
    (ap)q = ap·q
Beispiel 1
Fasse jeweils zusammen:
(a)
 
6
7
:
6
3
(b)
 
2
5
:
6
5
Beispiel 2
Forme, falls möglich, in EINE Wurzel um, in der nur noch positive Exponenten auftreten.
a)  
a
3
·
a
b)  
a
3
a
c)  
5
a
−
2
d)  
a
+
a
1,5