6.4 Kumulierte Wahrscheinlichkeiten, Matheübungen

Extremstellen und Wendestellen - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)

Hilfe
  • Bei binomialverteilten Zufallsgrößen (Bernoullikette der Länge n und Trefferwahrscheinlichkeit p) ist zwischen "nicht kumuliert", also P(Z=k) und "kumuliert", also P(Z≤k), zu unterscheiden.

    Bei vielen Experimenten, z.B. Ziehen mehrerer Kugeln mit einem Griff oder hintereinander ohne Zurücklegen, liegt keine Bernoullikette vor, daher kommen hier andere Formeln zur Anwendung.

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Berechne. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 2. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • In einer Urne befinden sich acht weiße und vier schwarze Kugeln. Per Zufall wird sieben mal hintereinander eine Kugel gezogen und anschließend zurückgelegt.
    a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter den gezogenen Kugeln mehr als drei weiße?
    P ≈
    b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind die letzten drei Kugeln weiß?
    P ≈
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Wann ist eine Zufallsgröße X binomialverteilt?
#1222
Eine Zufallsgröße X heißt binomialverteilt nach B(n;p), wenn X die Werte 0, 1, 2, ..., n (n natürliche Zahl) annimmt und wenn P(X=k)=(nk)·pk·(1−p)n−k gilt.

Zählt X die Anzahl der Treffer bei einem Bernoulli-Experiment, so ist X binomialverteilt.

Wie unterscheidet man bei binomialverteilten Zufallsgrößen und welche Experimente folgen keiner Binomialverteilung?
#1151
Bei binomialverteilten Zufallsgrößen (Bernoullikette der Länge n und Trefferwahrscheinlichkeit p) ist zwischen "nicht kumuliert", also P(Z=k) und "kumuliert", also P(Z≤k), zu unterscheiden.

Bei vielen Experimenten, z.B. Ziehen mehrerer Kugeln mit einem Griff oder hintereinander ohne Zurücklegen, liegt keine Bernoullikette vor, daher kommen hier andere Formeln zur Anwendung.

Beispiel
Aus einer Urne mit 10 Kugeln, von denen 4 weiß sind, werden 5 durch Zufall gezogen. Gib jeweils einen Term an für die Wahrscheinlichkeit…
a) dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.
b) höchstens dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.
c) dreimal Weiß, wenn hintereinander ohne Zurücklegen gezogen wird.
d) dreimal Weiß, wenn alle 5 Kugeln auf einmal gezogen werden.
 
Wie berechnet man mit einem GTR die Wahrscheinlichkeit für genau oder höchstens r Treffer bei einer Binomialverteilung?
#785

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit dem GTR:

Gegeben: Bernoullikette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p.

Wahrscheinlichkeit für GENAU r Treffer:

Bn,p = P(X = r) = binompdf (n , p , r)

Wahrscheinlichkeit für HÖCHSTENS r Treffer:

Fn,p = P(X ≤ r) = binomcdf (n , p , r)
Wie bestimmt man Wahrscheinlichkeiten der Form P(Z≤k) und P(Z>k)?
#509

Wahrscheinlichkeiten der Art P( X ≤ k ) einer binomial verteilten Zufallsgröße X können mit unterschiedlichen Hilfsmitteln (WTR, CAS/MMS, GTR, Tafelwerk) bestimmt werden. Man beachte, welche Hilfsmittel für die Prüfung zugelassen sind!

Um P( Z > k ) zu bestimmen, ermittelt man erst den Wahrscheinlichkeitswert für das Gegenereignis "Z ≤ k" und zieht diesen dann von 1 ab.

Beispiel
n
=
150; p
=
0,3
P
 
X ≥ 50
 ≈ ▇