6.4 Kumulierte Wahrscheinlichkeiten, Matheübungen

Extremstellen und Wendestellen - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse) - 32 Aufgaben in 7 Levels

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    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema

    Wahrscheinlichkeiten der Art P( X ≤ k ) einer binomial verteilten Zufallsgröße X können mit unterschiedlichen Hilfsmitteln (WTR, CAS/MMS, GTR, Tafelwerk) bestimmt werden. Man beachte, welche Hilfsmittel für die Prüfung zugelassen sind!

    Um P( Z > k ) zu bestimmen, ermittelt man erst den Wahrscheinlichkeitswert für das Gegenereignis "Z ≤ k" und zieht diesen dann von 1 ab.

  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 6
  • Bestimme mit Hilfe der "kumulativen Binomialverteilung". Ergebnis(se) mit 3 Dezimalstelle(n) Genauigkeit angeben - geringe Abweichungen vom richtigen Ergebnis werden toleriert!
    • n
    =
    100
    ;
    p
    =
    0,25
    P
     
    30 ≤ X ≤ 100
     
    ≈
     
  • keine Berechtigung
Beispiel
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Stoff zum Thema
Wann ist eine Zufallsgröße X binomialverteilt?
#1222
Eine Zufallsgröße X heißt binomialverteilt nach B(n;p), wenn X die Werte 0, 1, 2, ..., n (n natürliche Zahl) annimmt und wenn P(X=k)=(nk)·pk·(1−p)n−k gilt.

Zählt X die Anzahl der Treffer bei einem Bernoulli-Experiment, so ist X binomialverteilt.

Wie unterscheidet man bei binomialverteilten Zufallsgrößen und welche Experimente folgen keiner Binomialverteilung?
#1151

Bei binomialverteilten Zufallsgrößen (Bernoullikette der Länge n und Trefferwahrscheinlichkeit p) ist zwischen "nicht kumuliert", also P(Z=k) und "kumuliert", also P(Z≤k), zu unterscheiden.

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit dem GTR:

Gegeben: Bernoullikette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p.

Wahrscheinlichkeit für GENAU k Treffer:

Bn,p = P(X = k) = binompdf (n , p , k)

Wahrscheinlichkeit für HÖCHSTENS k Treffer:

Fn,p = P(X ≤ k) = binomcdf (n , p , k)

Bei vielen Experimenten, z.B. Ziehen mehrerer Kugeln mit einem Griff oder hintereinander ohne Zurücklegen, liegt keine Bernoullikette vor, daher kommen hier andere Formeln zur Anwendung.

Beispiel
Aus einer Urne mit 10 Kugeln, von denen 4 weiß sind, werden 5 durch Zufall gezogen. Gib jeweils einen Term an für die Wahrscheinlichkeit…
a) dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.
b) höchstens dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.
c) dreimal Weiß, wenn hintereinander ohne Zurücklegen gezogen wird.
d) dreimal Weiß, wenn alle 5 Kugeln auf einmal gezogen werden.
 
Wie berechnet man mit einem GTR die Wahrscheinlichkeit für genau oder höchstens r Treffer bei einer Binomialverteilung?
#785

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit dem GTR:

Gegeben: Bernoullikette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p.

Wahrscheinlichkeit für GENAU r Treffer:

Bn,p = P(X = r) = binompdf (n , p , r)

Wahrscheinlichkeit für HÖCHSTENS r Treffer:

Fn,p = P(X ≤ r) = binomcdf (n , p , r)
Wie bestimmt man Wahrscheinlichkeiten der Form P(Z≤k) und P(Z>k)?
#509

Wahrscheinlichkeiten der Art P( X ≤ k ) einer binomial verteilten Zufallsgröße X können mit unterschiedlichen Hilfsmitteln (WTR, CAS/MMS, GTR, Tafelwerk) bestimmt werden. Man beachte, welche Hilfsmittel für die Prüfung zugelassen sind!

Um P( Z > k ) zu bestimmen, ermittelt man erst den Wahrscheinlichkeitswert für das Gegenereignis "Z ≤ k" und zieht diesen dann von 1 ab.

Beispiel
n
=
150; p
=
0,3
P
 
X ≥ 50
 ≈ ▇