6.4 Lösungsformel für quadratische Gleichungen, Matheübungen

Quadratische Gleichungen - Lehrwerk Lambacher Schweizer

Hilfe

  • Die Lösungen der quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. Mitternachtsformel (MNF) bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

    D = b² − 4ac

    Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

    x1,2 = (−b ± √D) : 2a

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Löse mit Hilfe der Mitternachtsformel. Wenn es nur eine bzw. gar keine Lösung gibt, gib im zweiten Feld bzw. in beiden Feldern "!" ein. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 2. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • 1
    3
     
    x
    2
    −
    2x
    +
    1
    =
    0
    x
    1
     
    ≈
     
    x
    2
     
    ≈
     
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
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keine Berechtigung
Wie identifiziert man die Koeffizienten a, b und c in einer quadratischen Gleichung?
#241
Merke:
  • a ist der x² zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x² steht)
  • b ist der x zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x steht). Kommt x in der Gleichung nicht vor, so ist b = 0.
  • c ist die Konstante (d.h. c steht solo, ohne x oder x²). Kommt keine Konstante in der Gleichung vor, so ist c = 0.
Wie berechnet man die Diskriminante einer quadratischen Gleichung und was sagt sie aus?
#843

Um zu ermitteln, ob die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 überhaupt gelöst werden kann und ob es - falls ja - eine oder zwei Lösungen gibt, berechnet man am besten zuerst die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

  • Gilt D < 0, so ist die quadratische Gleichung unlösbar.
  • Gilt D = 0, so hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung.
  • Gilt D > 0, so hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.
Was ist die Mitternachtsformel und wie bestimmt man die Anzahl der Lösungen?
#243

Die Lösungen der quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. Mitternachtsformel (MNF) bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x1,2 = (−b ± √D) : 2a

Beispiel 1
Löse die Gleichung 
2x
2
−
5x
−
7
=
0
.
Beispiel 2
Löse die Gleichung:
1
3
 
x
−
x
2
+
7
=
5
+
x
Wie kann eine quadratische Gleichung eine oder zwei Lösungen haben? Gib jeweils ein Beispiel und begründe dies.
#433
Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Daher hat eine quadratische Gleichung der Form
  • (x − 1)⋅(x + 2) = 0 die zwei Lösungen 1 und -2
  • (x − 3)² = 0 nur die Lösung 3
Beispiel
Gib eine quadratische Gleichungen an, die als einzige Lösung x = -5 hat.