6.5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Matheübungen

Wahrscheinlichkeit - Lehrwerk Lambacher Schweizer

Hilfe
  • Unterscheide sorgfältig zwischen
    • P(A ∩ B)
      = Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintritt; im Baumdiagramm steht sie am Ende des A - B - bzw. B - A - Pfades.

    • PA(B)
      = Wahrscheinlichkeit von Ereignis B unter der Bedingung, dass auch A eintritt (eingetreten ist); im Baumdiagramm steht sie über dem Ast, der von A zu B führt.
      = P(A ∩ B) / P(A)

    • PB(A)
      = Wahrscheinlichkeit von Ereignis A unter der Bedingung, dass auch B eintritt (eingetreten ist); im Baumdiagramm steht sie über dem Ast, der von B zu A führt.
      = P(A ∩ B) / P(B)
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Ordne richtig zu.

  • Drei Freundinnen unterhalten sich über Jungs. Vor allem geht es um die beiden Attribute H: "ist hübsch" und B: "hat was in der Birne". Aus ihren persönlichen Erfahrungen heraus schätzen sie die Wahrscheinlichkeit, dass...
    1. ein hübscher Junge nichts in der Birne hat.
    2. ein Typ, der nichts in der Birne hat, wenigstens hübsch ist.
    3. ein Junge, den man zufällig kennenlernt, hübsch und intelligent zugleich ist.
    4. ein Junge, der nichts in der Birne hat, nicht mal hübsch ist.
    5. ein Typ, der einem zufällig über den Weg läuft, zwar hübsch ist aber nichts in der Birne hat.
    P
     
    B
     
    ∩ H
     
    entspricht Nr.
     
    P
    B
     
    H
     
    entspricht Nr.
     
    P
    B
     
    H
     
    entspricht Nr.
     
    P
     
    B ∩ H
     
    entspricht Nr.
     
    P
    H
     
    B
     
    entspricht Nr.
     
    Notizfeld
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Bedingte Wahrscheinlichkeit
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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Kanal: Mathegym
Wie liest oder ermittelt man die Wahrscheinlichkeiten P(A), P(A ∩ B) und P_A(B) in einem Baumdiagramm?
#380
Ermittle im Baumdiagramm:

P(A) =

  • Wahrscheinlichkeit über dem Ast, der vom Startpunkt zum Ereignis A führt oder
  • Summe der Wahrscheinlickeiten aller Pfade, die zu A führen (Verzweigungsregel)
P(A ∩ B) =
  • Wahrscheinlichkeit des Pfades, der über A und B bzw. über B und A führt; gemeint ist also die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B eintritt.
PA(B) (bedingte Wahrscheinlichkeit) =
  • Wahrscheinlichkeit über dem Ast, der von A zu B führt; gemeint ist also die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B unter der Bedingung, dass auch A eintritt (eingetreten ist).
Beispiel
Ergänze die fehlenden Ast- und Pfadwahrscheinlichkeiten und lies dann die gefragten Wahrscheinlichkeuten ab:
graphik
P
A
 
B
=
?
P
 
B
=
?
P
 
A
 
∩
 
B
=
?
Wie lassen sich die Wahrscheinlichkeiten P(A ∩ B), P(A) und P_A(B) in einer Vierfeldertafel bestimmen?
#378
Ermittle in der Vierfeldertafel:

P(A ∩ B) =

  • Wahrscheinlichkeit in der Zelle, in der sich A- und B-Streifen überschneiden
P(A) =
  • Wahrscheinlichkeit am Rand des A-Streifens oder
  • Summe der Wahrscheinlickeiten von P(A ∩ B) und P(A ∩ B)
PA(B) (bedingte Wahrscheinlichkeit) =
  • P(A ∩ B) / P(A); die bedingte Wahrscheinlichkeit kann also in der Vierfeldertafel nicht direkt abgelesen, aber leicht berechnet werden.

Beispiel
Bestimme die gefragten Wahrscheinlichkeiten:
A
A
B
4
13
17
B
25
108
133
29
121
150
P
 
A ∩
 
B
=
?
;
P
 
A
=
?
;
P
B
 
A
=
?
Was versteht man unter den Wahrscheinlichkeiten P(A ∩ B), P_A(B) und P_B(A), wo treten sie im Baumdiagramm auf und wie berechnet man sie?
#377
Unterscheide sorgfältig zwischen
  • P(A ∩ B)
    = Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintritt; im Baumdiagramm steht sie am Ende des A - B - bzw. B - A - Pfades.

  • PA(B)
    = Wahrscheinlichkeit von Ereignis B unter der Bedingung, dass auch A eintritt (eingetreten ist); im Baumdiagramm steht sie über dem Ast, der von A zu B führt.
    = P(A ∩ B) / P(A)

  • PB(A)
    = Wahrscheinlichkeit von Ereignis A unter der Bedingung, dass auch B eintritt (eingetreten ist); im Baumdiagramm steht sie über dem Ast, der von B zu A führt.
    = P(A ∩ B) / P(B)
Beispiel
Betrachte die Ereignisse B = "Person trägt Brille" und K = "Person ist kurzsichtig". Drücke mit Worten aus und markiere in einem Baumdiagramm:
P
 
B ∩ K
 
    
 
P
B
 
K
 
    
 
P
K
 
B