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6.5 Gegenseitige Lage von Ebenen, Matheübungen
- Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)
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Ermittle für die beiden Ebenen jeweils einen Normalenvektor. Prüfe dann, ob die beiden Normalenvektoren parallel, senkrecht oder in anderem Winkel zueinander stehen. Untersuche, falls nötig, durch eine Punktprobe, ob die Ebenen identisch oder echt parallel sind.
Soll man nur die Lagebeziehung von zwei Ebenen ermitteln (und nicht die Schnittgerade aufstellen), so genügt es auch zu prüfen, ...
... ob die Normalenvektoren linear abhängig sind (⇒ E und F parallel). In diesem Fall kann man durch Einsetzen des Aufpunkts der einen Ebene in die andere Ebene prüfen, ob E und F echt parallel oder identisch sind.
... ob die Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen (⇒ auch E und F senkrecht zueinander).
Trifft beides nicht zu, schneiden sich die Ebenen, jedoch nicht senkrecht.
Bestimme die Lagebeziehung der zwei gegebenen Ebenen.
Zwischenschritte aktivieren
E:
3x
1
−
8x
2
−
2x
3
+
7
=
0
F:
X
=
2
0
3
+
λ
·
0
1
1
+
μ
·
4
−
5
3
E und F sind identisch (E = F)
E und F sind echt parallel (E || F und E ≠ F)
E und F schneiden sich senkrecht (E ⊥ F)
E und F schneiden sich, jedoch nicht senkrecht
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Stoff zum Thema (+Video)
Sind zwei Ebenen E und F jeweils durch eine Gleichung in Normalenform gegeben, so ermittelt man ihre Lage zueinander und die evtl. Schnittgerade wie folgt:
Vergleiche zuerst die Normalenvektoren beider Ebenen: sind sie linear abhängig, so sind E und F parallel. Lässt sich zudem die Gleichung von E durch Äquivalenzumformung (Multiplikation mit geeignetem Faktor auf beiden Seiten) in die Gleichung von F überführen, so sind E und F sogar identisch.
Andernfalls schneiden sich E und F. Eine Gleichung in Parameterform für die Schnittgerade s erhält man so:
Setze z.B. x
1
= λ.
Löse z.B. die Gleichung von E nach x
2
auf und setze das Ergebnis in die Gleichung von F ein. So erhältst du eine Gleichung der Sorte x
3
= ....λ....
Setze dieses Ergebnis in E ein und du du erhältst schließlich x
2
=...λ...
Schreibe die Ergebnisse für x
1
, x
2
und x
3
untereinander und forme daraus "Ortsvektor + λ · Richtungsvektor".
Beispiel
E
:
x
1
−
2x
3
+
3x
3
−
5
=
0
F
:
2x
1
−
2x
2
+
x
3
−
1
=
0
G
:
−
3x
1
+
6x
2
−
9x
3
+
10
=
0
Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Ebenen F und G und bestimme, falls vorhanden, die Gleichung der jeweiligen Schnittgerade in Parameterform.
Ist die Ebene E durch eine Gleichung in Normalenform und die Ebene F durch eine Gleichung in Paramterform gegeben, so ermittelt man ihre Lage zueinander und die evtl. Schnittgerade wie folgt:
Setze F in E ein, d.h. ersetze x
1
, x
2
und x
3
in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen des F-Gleichungssystems.
Löse die entstehende λ,μ-Gleichung, wenn möglich, z.B. nach μ auf und setze das Ergebnis in die F-Gleichung für μ ein.
Fasse zu "Ortsvektor + λ · Richtungsvektor" zusammen.
Eine Schnittgerade liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind die Ebenen parallel, und zwar
echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
identisch, wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.
Beispiel
E
:
x
1
+
5x
2
+
13x
3
−
2
=
0
F
:
X
=
1
2
−
3
+
λ
1
0
2
+
μ
1
−
1
1
G
:
X
=
0
−
1
3
+
λ
2
−
3
1
+
μ
5
−
1
0
Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Ebenen F und G und bestimme, falls vorhanden, die Gleichung der jeweiligen Schnittgerade in Parameterform.
Soll man nur die Lagebeziehung von zwei Ebenen ermitteln (und nicht die Schnittgerade aufstellen), so genügt es auch zu prüfen, ...
... ob die Normalenvektoren linear abhängig sind (⇒ E und F parallel). In diesem Fall kann man durch Einsetzen des Aufpunkts der einen Ebene in die andere Ebene prüfen, ob E und F echt parallel oder identisch sind.
... ob die Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen (⇒ auch E und F senkrecht zueinander).
Trifft beides nicht zu, schneiden sich die Ebenen, jedoch nicht senkrecht.
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