6.5 Länge eines Vektors - Skalarprodukt, Matheübungen

Koordinatengeometrie im Raum - Fundamente der Mathematik (11.-13. Klasse) - 34 Aufgaben in 7 Levels

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 2
  • Berechne die Koordinaten des Vektors und dessen Betrag. Ergebnis(se) mit 2 Dezimalstelle(n) Genauigkeit angeben - geringe Abweichungen vom richtigen Ergebnis werden toleriert!
    • Gegeben sind die Punkte A(0|0) und B(4|4).
    AB
    =
    −
    −
    =
    AB
    =
    +
    =
     
    ≈
     
    (die grau gefärbten Eingabefelder werden nicht bewertet)
  • keine Berechtigung
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Stoff zum Thema
Wie berechnet man die Länge eines Vektors?
#446
Die Länge eines Vektors erhält man, indem man seine Koordinaten quadriert, summiert und dann die Wurzel zieht. Die Vorzeichen der Koordinaten spielen dabei keine Rolle.
Beispiel
Berechne die Länge von
 
a
=
5
−
3
 
und
 
b
=
1
4
7
Wie berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren und welche Art von Ergebnis liefert es?
#616

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine reelle Zahl (kein Vektor!).

Definiert wird es als Produkt ihrer Längen, multipliziert mit cos(α), wobei mit α der Winkel zwischen beiden Vektoren gemeint ist (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, 0° ≤ α ≤ 180°).

Noch einfacher lässt es sich berechnen, indem man die Koordinaten beider Vektoren zeilenweise multipliziert und die Produkte addiert.

Wie kann man feststellen, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander sind?
#617
Zwei Vektoren (jeweils ungleich dem Nullvektor) stehen genau dann senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
Beispiel 1
Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten A(0|9|-1), B(-2|-5|3) und C(-2|-3|1). Prüfe, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Beispiel 2

Bestimme k so, dass beide Vektoren senkrecht zueinander sind.

\[ \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ 5 \end{pmatrix} \perp \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix} \]