7.3 Wachstumsprozesse, Matheübungen

Exponentialfunktionen und Logarithmus - Lehrwerk Westermann (5.-10. Klasse) - 20 Aufgaben in 4 Levels

Hilfe
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Sei B(n) der Bestand nach dem n-ten Zeitschritt.
    Unterscheide zwischen linearem und exponentiellem Wachstum:
    • Linear: Zunahme pro Zeitschritt ist - absolut - immer gleich, d.h.
      B(n + 1) = B(n) + d
      Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
      B(n) = B(0) + n ·d
      d bezeichnet hier die Änderung pro Zeitschritt.
    • Exponentiell: Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
      B(n + 1) = B(n) · k.
      Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
      B(n) = B(0) ·kn
      k bezeichnet hier den Wachstumsfaktor.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 1
  • Vervollständige die Tabelle. Falls du mit Teilergebnissen weiterrechnest, so verwende die genauen Werte (Taschenrechnergenauigkeit) und NICHT die von dir gerundeten! Ergebnis(se) mit 2 Dezimalstelle(n) Genauigkeit angeben - geringe Abweichungen vom richtigen Ergebnis werden toleriert!
    • Ein Bestand mit dem Anfangswert B(0) = 250 nimmt täglich um 3% zu.
    n
    0
    1
    2
    3
    10
    B(n)
    250
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
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Stoff zum Thema (+Video)
Was sind die konstanten Faktoren und Funktionsterme bei linearem und exponentiellem Wachstum?
#723
Sei B(n) der Bestand nach dem n-ten Zeitschritt.
Unterscheide zwischen linearem und exponentiellem Wachstum:
  • Linear: Zunahme pro Zeitschritt ist - absolut - immer gleich, d.h.
    B(n + 1) = B(n) + d
    Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
    B(n) = B(0) + n ·d
    d bezeichnet hier die Änderung pro Zeitschritt.
  • Exponentiell: Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
    B(n + 1) = B(n) · k.
    Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
    B(n) = B(0) ·kn
    k bezeichnet hier den Wachstumsfaktor.
Beispiel
  • Exponentielles Wachstum
Ein Bestand mit dem Anfangswert B(0) = 1000 nimmt täglich um 2,5% zu.
n
0
1
2
5
10
B(n)
1000
?
?
?
?
  • Lineares Wachstum
Ein Bestand mit dem Anfangswert B(0) = 1000 nimmt täglich um 25 zu.
n
0
1
2
5
10
B(n)
1000
?
?
?
?
Wie beschreibt man die Änderung des Bestandes bei einem Wachstumsvorgang von einem Zeitschritt zum nächsten?
#719
Bei einem Wachstumsvorgang kann man die Änderung des Bestandes von einem Zeitschritt n auf den nächsten auf zwei Arten beschreiben.
1. absolute Änderung: B(n+1) – B(n)
2. relative (prozentuale Änderung): (B(n+1) – B(n)) / B(n)
Beispiel
2010 lebten in Berlin 3.460.725 Menschen, 2011 waren es 3.326.002. Im Jahr 2012 betrug die Einwohnerzahl von Berlin 3.375.222.
Berechne jeweils die absolute und die relative Änderung.
Runde, falls nötig, auf die zweite Nachkommastelle.
von 2010 nach 2011
von 2011 nach 2012
absolute Änderung
?
?
relative Änderung (in %)
?
?
Was ist der allgemeine Term einer Exponentialfunktion und welche Bedeutung haben die Parameter?
#350
Funktionen mit der Gleichung f(x) = b · ax heißen Exponentialfunktionen. Dabei ist
  • a > 0 der Wachstumsfaktor und
  • b = f(0) der Anfangsbestand
Beispiel
Ein zu festem Jahreszinssatz angelegtes Kapital ist innerhalb von 10 Jahren auf 300% angewachsen. Wie hoch ist der Zinsatz?