7.3 Wachstumsprozesse, Matheübungen

Exponentialfunktionen und Logarithmus - Lehrwerk Westermann (5.-10. Klasse)

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Die Quersumme der gesuchten Zahl lautet 11.
  • Setze den Wachstumsfaktor a und einen gegebenen Punkt (d.h. den bekannten Bestand zu einem bestimmten Zeitpunkt) in die allgemeine Gleichung y = b · ax ein und löse nach b auf.

Gib gerundet auf ganze Zahlen an.

  • Ein mit 4,2% / Jahr verzinstes Kapital ist (einschließlich Zinseszins) nach 5 Jahren auf 79 845,78 € angewachsen.
    Das Anfangskapital betrug
     
     
    Euro
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keine Berechtigung
Sei B(n) der Bestand nach dem n-ten Zeitschritt.
Unterscheide zwischen linearem und exponentiellem Wachstum:
  • Linear: Zunahme pro Zeitschritt ist - absolut - immer gleich, d.h.
    B(n + 1) = B(n) + d
    Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
    B(n) = B(0) + n ·d
    d bezeichnet hier die Änderung pro Zeitschritt.
  • Exponentiell: Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
    B(n + 1) = B(n) · k.
    Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
    B(n) = B(0) ·kn
    k bezeichnet hier den Wachstumsfaktor.
Beispiel
  • Exponentielles Wachstum
Ein Bestand mit dem Anfangswert B(0) = 1000 nimmt täglich um 2,5% zu.
n
0
1
2
5
10
B(n)
1000
?
?
?
?
  • Lineares Wachstum
Ein Bestand mit dem Anfangswert B(0) = 1000 nimmt täglich um 25 zu.
n
0
1
2
5
10
B(n)
1000
?
?
?
?
Bei einem Wachstumsvorgang kann man die Änderung des Bestandes von einem Zeitschritt n auf den nächsten auf zwei Arten beschreiben.
1. absolute Änderung: B(n+1) – B(n)
2. relative (prozentuale Änderung): (B(n+1) – B(n)) / B(n)
Beispiel
2010 lebten in Berlin 3.460.725 Menschen, 2011 waren es 3.326.002. Im Jahr 2012 betrug die Einwohnerzahl von Berlin 3.375.222.
Berechne jeweils die absolute und die relative Änderung.
Runde, falls nötig, auf die zweite Nachkommastelle.
von 2010 nach 2011
von 2011 nach 2012
absolute Änderung
?
?
relative Änderung (in %)
?
?
Funktionen mit der Gleichung f(x) = b · ax heißen Exponentialfunktionen. Dabei ist
  • a > 0 der Wachstumsfaktor und
  • b = f(0) der Anfangsbestand
Beispiel
Ein zu festem Jahreszinssatz angelegtes Kapital ist innerhalb von 10 Jahren auf 300% angewachsen. Wie hoch ist der Zinsatz?