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7.4 Exponentielle Wachstumsprozesse, Matheübungen
Exponentialfunktionen und Logarithmus - Lehrwerk Westermann (5.-10. Klasse)
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Beispielaufgabe
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Wachstumsrate = Wachstumsfaktor a − 1
Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt
um
20% (= Rate) zu, so hat er sich
auf
120% (= a) des ursprünglichen Bestands vergößert.
Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt
um
20% (Rate) ab, so hat er sich
auf
80% (= a) des ursprünglichen Bestands verringert.
Ansonsten bedenke, dass 80% = 0,8 und 120% = 1,2.
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Bestimme den Wachstumsfaktor a. Gib evtl. auftretende Brüche in der Form "a/b" bzw. "-a/b" an.
Vermögenswachstum bei einem Jahreszinssatz von 4,5% (mit Zinseszins):
a
=
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
+
-
*
:
/
√
^
∞
<
>
!
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Stoff zum Thema (+Video)
Was bleibt beim exponentiellen Wachstum gleich und wie geht man bei typischen Fragestellungen vor?
#724
Exponentielles Wachstum:
Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
B(n + 1) = B(n) · k.
B(n) gesucht:
Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
B(n) = B(0) · k
n
n gesucht:
Ist n gesucht, löst man die Formel nach n auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : B(0)
B(n) / B(0) = k
n
| log
log( B(n) / B(0) ) = log( k
n
)
log( B(n) / B(0) ) = n · log( k ) | : log( k )
n = log( B(n) / B(0) ) / log( k )
B(0) gesucht:
Ist B(0) gesucht, löst man die Formel nach B(0) auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : k
n
B(0) = B(n) / k
n
k gesucht:
Ist k gesucht, löst man die Formel nach k auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : B(0)
B(n) / B(0) = k
n
Zuletzt zieht man noch die n-te Wurzel
Beispiel 1
Ein Kapital von 2000 € vermehrt sich auf einem Sparkonto pro Jahr um 0,1%.
Nach 8 Jahren beträgt das Kapital auf dem Konto:
?
Euro
?
Cent
Beispiel 2
Ein Guthaben von 5000 € wird mit 3,7% verzinst. Nach wie vielen Jahren ist es auf 8000 € angewachsen?
Nach ? Jahren beträgt das Guthaben 8000 €.
Wie hängen Wachstumsrate und Wachstumsfaktor beim exponentiellen Wachstum zusammen?
#345
Wachstumsrate = Wachstumsfaktor a − 1
Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt
um
20% (= Rate) zu, so hat er sich
auf
120% (= a) des ursprünglichen Bestands vergößert.
Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt
um
20% (Rate) ab, so hat er sich
auf
80% (= a) des ursprünglichen Bestands verringert.
Ansonsten bedenke, dass 80% = 0,8 und 120% = 1,2.
Beispiel
Wie lautet der Wachstumsfaktor (bezogen auf das angegebene Zeitintervall)
bei einer monatlichen Zunahme um die Hälfte
bei einer jährlichen Abnahme um ein Viertel
bei einem täglichen Rückgang um 1,5%
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