7.4 n-te Wurzel und Potenzen mit rationalen Exponenten, Matheübungen

- Lehrwerk Fundamente der Mathematik (5.-9. Klasse) - 112 Aufgaben in 13 Levels

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    Die Kubikwurzel oder 3. Wurzel einer nicht negativen Zahl a ist diejenige nicht negative Zahl, die hoch 3 genommen (also dreimal mit sich selbst multipliziert), a ergibt, also

    (3√a)3 = a.

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 10 in Level 4
  • Bestimme die 3. Wurzel.
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    • 3
    8
    27
    =
Beispiel
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie kann man Potenzen mit negativen oder gebrochenen Exponenten in natürliche Exponenten umformen?
#374
Sei r eine positive rationale Zahl. Dann gilt

b−r = 1 / br

Sei b ≥ 0 und n eine natürliche Zahl. Dann gilt

b1/n = n√b

Sei b ≥ 0, m und n natürliche Zahlen. Dann gilt

bm/n = n√(bm) = (n√b)m

Beispiel 1
27
2
3
=
?
 
          
 
0,75
−
2
=
?
Beispiel 2
Schreibe jeweils als Potenz (ohne Wurzelzeichen) mit möglichst einfacher Basis:
3
25
9
 
          
 
1
8
Beispiel 3
Vereinfache jeweils so, dass die Variable nicht im Nenner oder unter der Wurzel steht:
2
3x
2
 
          
 
3
64
27a
Was bedeutet der mathematische Ausdruck a³?
#1305

a3 = a · a · a

Was versteht man unter der Kubikwurzel oder 3. Wurzel?
#1303
Die Kubikwurzel oder 3. Wurzel einer nicht negativen Zahl a ist diejenige nicht negative Zahl, die hoch 3 genommen (also dreimal mit sich selbst multipliziert), a ergibt, also

(3√a)3 = a.

Beispiel
Bestimme die 3. Wurzel.
3
27
=
▇
3
1
27
=
▇
▇
3
0,027
=
▇
Was ist die n-te Wurzel von a und unter welchen Bedingungen ist sie definiert?
#879

Mit der \(n\)-ten Wurzel \(\sqrt[n]{a}\) aus \(a\geq 0\) ist diejenige nichtnegative Zahl gemeint, die mit \(n\) potenziert \(a\) ergibt. Beispielsweise gilt \(\sqrt[5]{32}=2\), weil \(2^5=32\) ist.

Beachte: Sowohl der Radikand \(a\), also die Zahl unter der \(n\)-ten Wurzel, als auch die \(n\)-te Wurzel \(\sqrt[n]{a}\) selbst dürfen nach der auf Mathegym verwendeten Definition nicht negativ sein. Wir orientieren uns hier an einer in der bayerischen Schulmathematik üblichen Definition, die negative Radikanden grundsätzlich ausschließt, um Schwierigkeiten bei der Anwendung der Potenzgesetze zu vermeiden.

Nach einer anderen, ebenfalls gebräuchlichen Definition sind bei ungeraden Wurzelexponenten auch negative Radikanden zulässig. Viele Taschenrechner liefern daher beispielsweise für \(\sqrt[3]{-8}\) den Wert \(-2\). Es handelt sich also um eine Frage der Definition.

Wie viele Lösungen hat die Gleichung x^n=a (n ∈ N) in Abhängigkeit von a und n?
#880
Die Gleichung xn=a (n ∈ N)
  • hat KEINE Lösung, wenn n eine gerade Zahl ist und a<0.
  • hat GENAU ZWEI Lösungen, wenn n eine gerade Zahl und a>0, nämlich die n-te Wurzel von a als auch deren Gegenzahl.
  • hat GENAU EINE Lösung, wenn n eine ungerade Zahl und a>0, nämlich die n-te Wurzel von a.
  • hat GENAU EINE Lösung, wenn n eine ungerade Zahl und a<0, nämlich die Gegenzahl der n-te Wurzel von |a|.
Beispiel
Löse, falls möglich:
a
 
x
4
=
−
5
     
b
 
x
4
=
5
     
c
 
x
3
=
5
     
d
 
x
3
=
−
5
     
e
 
x
3
=
0
Wann gelten zwei Terme als äquivalent?
#375
Zwei Terme T1 und T2 sind äquivalent, wenn sie die gleichen Defintionsmengen besitzen und bei jeder Einsetzung aus der Definitionsmenge den selben Wert annehmen.
Beispiel
Überprüfe jeweils auf Äquivalenz:
x
2
 
und
 
x
2
 
          
 
x
2
3
 
und
 
x
3