8.1 Pfadregeln und Erwartungswert - Teil 1, Matheübungen

Beschreibung von Ergebnis und Ereignis, Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse; Intensivierung der in Klasse 7/8 erlernten Pfadregeln im Baumdiagramm, insbesondere auch unter Berücksichtigung des Gegenereignisses - Lehrwerk Lambacher Schweizer

Hilfe
  • Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten kann ein Ereignis E mehrere Pfade im Baumdiagramm umfassen. Um die Wahrscheinlichkeit von E zu bestimmen, muss man die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade addieren (2. Pfadregel).
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Runde, falls nötig, auf ganze Prozent.

  • In einer Urne befinden sich eine schwarze, zwei weiße und drei orange Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und wieder zurückgelegt, danach wird eine zweite Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogenen Kugeln unterschiedliche Farben besitzen?
    P
     
    ≈
     
    %
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
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Laplace-Experiment
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Laplace-Experiment

Kanal: Mathegym
Was ist der Unterschied zwischen einem Ergebnis und einem Ereignis bei einem Zufallsexperiment?
#543
Unterscheide bei einem Zufallsexperiment zwischen
  • Ergebnis: z.B. die Augenzahlen 1, 2, ...6 beim Würfeln
  • Ereignis: eine bestimmte Auswahl von Ergebnissen, also z.B. "ungerade Augenzahl"
Was versteht man in der Wahrscheinlichkeitsrechnung unter einem Ereignis und dessen Eintritt?
#162

Bei einem Zufallsexperiment schaut man auf bestimmte Ergebnisse. Yasmin wettet z.B. mit ihrer Freundin um 50 €, dass Sie beim nächsten Wurf mit dem Würfel eine gerade Zahl erhält.

In der Sprache der Wahrscheinlichkeitsrechnung setzt Yasmin auf das Ereignis "gerade Zahl". Dieses Ereignis tritt ein, wenn Sie z.B. eine 4 würfelt. Die Augenzahl 4 nennt man dann ein (für das Ereignis) günstiges Ergebnis. Alle anderen Augenzahlen nennt man ungünstig.

Was ist P(E) in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und wie bestimmt man diesen Wert?
#165
Jedes Ereignis E hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeit P(E). Hierbei handelt es sich um einen Wert zwischen 0 und 1 (oder 0% bis 100%). Auf die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann man schließen
  • durch Überlegung: Beim Würfeln mit einem normalen Würfel z.B. hat "Augenzahl 5" die Wahrscheinlichkeit 1/6 (ca. 16,7%).
  • durch Statistik: Wenn man ein Zufallsexperiment sehr oft durchgeführt hat, legt die relative Häufigkeit eines Ereignisses dessen Wahrscheinlichkeit nahe.
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem Laplace-Experiment?
#447

Bei einem Laplace-Experiment kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E nach folgender Formel bestimmen:

Anzahl der Ergebnisse in E : Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E in einem mehrstufigen Zufallsexperiment?
#248
Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten kann ein Ereignis E mehrere Pfade im Baumdiagramm umfassen. Um die Wahrscheinlichkeit von E zu bestimmen, muss man die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade addieren (2. Pfadregel).
Beispiel
In einer Urne befinden sich zwei schwarze, zwei weiße und eine orange Kugeln. Es werden drei Kugeln hintereinander - ohne Zurücklegen - gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede Farbe einmal drankommt?
Was sind die drei Pfadregeln in einem Baumdiagramm?
#379
In einem Baumdiagramm gelten folgende Pfadregeln:
  1. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfads ergibt sich durch Multiplikation der Ast-Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfads (Produktregel).
  2. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich durch Addition der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu dem Ereignis führen (Summenregel).
  3. Die Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ergeben in der Summe 1 (Verzweigungsregel).