8.12 Gleichungen von Geraden, Matheübungen

Funktionen - Lehrwerk Westermann (5.-10. Klasse)

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  • Um zu überprüfen, ob ein Punkt P(x | y) auf der Geraden liegt, setzt man den x-Wert in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert. Ist das Ergebnis der y-Wert des Punktes, dann liegt der Punkt auf der Geraden.

Prüfe rechnerisch, ob die Punkte P und Q auf der gegebenen Gerade liegen. Möglicherweise liegt auch keiner der beiden Punkte auf der Geraden.

  • Geradengleichung: 
    y
    =
    2
    3
     
    x
    ; P(−15|10); Q(28|
    18
    2
    3
    )
    P liegt auf der Geraden.
    Q liegt auf der Geraden.
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Wie berechnet man die fehlende Koordinate eines Punktes auf einer Geraden, wenn eine Koordinate bekannt ist?
#650
Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die x-Koordinate bekannt ist, erhält man die y-Koordinate, indem man die x-Koordinate in den Funktionsterm einsetzt und den Wert des Funktionsterms berechnet. Das Ergebnis ist die y-Koordinate.

Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die y-Koordinate bekannt ist, erhält man die x-Koordinate, indem man den Funktionsterm gleich der y-Koordinate setzt und die entstehende Gleichung nach x auflöst. Das Ergebnis ist die x-Koordinate.
Wie kann man rechnerisch überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?
#646
Um zu überprüfen, ob ein Punkt P(x | y) auf der Geraden liegt, setzt man den x-Wert in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert. Ist das Ergebnis der y-Wert des Punktes, dann liegt der Punkt auf der Geraden.
Wie bestimmt man den Funktionsterm einer grafisch dargestellten Geraden?
#811
Um den Funktionsterm einer abgebildeten Geraden aufzustellen, musst du ihren y-Achsenabschnitt und ihre Steigung ermitteln:
  1. Der y-Achsenabschnitt lässt sich direkt aus dem Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse ablesen.
  2. Die Steigung erhältst du so: suche zwei Punkte auf der Geraden, deren Koordinaten sich gut ablesen lassen und betrachte das Steigungsdreieck zwischen diesen beiden Punkten. Bilde den Bruch aus der Höhe des Dreiecks im Zähler und der Breite des Dreiecks im Nenner und kürze diesen, falls möglich. Falls die Gerade fällt, schreibe noch ein Minus vor den oben ermittelten Bruch. Damit hast du die Steigung.
Beispiel
Lies jeweils die genauen Werte für m und t ab:
graphik
Wie zeichnet man eine Gerade, wenn Steigung m und y-Achsenabschnitt t bekannt sind?
#810
Um die Gerade mit der Gleichung y=mx+t zu zeichnen, gehe am besten wie folgt vor:
  1. Stelle die Steigung m als Bruch dar (falls nicht schon als Bruch gegeben), z.B. m = -1/4 .
  2. Gehe vom Schnittpunkt mit der y-Achse, also P(0|t) aus um den Nennerbetrag, hier also um 4, nach rechts.
  3. Gehe dann um den Zählerbetrag nach oben (falls m postiv) bzw. unten (falls m negativ). Hier also um 1 nach unten. Damit hast du einen zweiten Punkt und kannst die Gerade zeichnen.
Die Schritte 2 und 3 können auch vertauscht werden. Ebenso ist es egal, ob du Kästchen oder ganze Einheiten abzählst. Wichtig ist nur, dass du nach rechts und nach oben (bzw. unten) die gleichen Schrittlängen abgehst.
Beispiel
Zeichne die Gerade mit folgender Gleichung: 
y
=
2
−
1
3
 
x
Wie prüfst du rechnerisch, ob drei Punkte auf einer Geraden liegen?
#1193
Liegen drei Punkte auf einer Geraden?

Sind drei Punkte A(xA|yA), B(xB|yB) und C(xC|yC) gegeben, dann stelle eine Geradengleichung durch zwei Punkte, etwa A und B auf:
  1. Berechne Δy = yB − yA und Δx = xB − xA
  2. Berechne Steigung m = Δy/Δx
  3. Berechne y-Achsenabschnitt t = yA − m⋅xA
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein:
y = m⋅x + t
Setze dann Punkt C ein:
yC = m⋅xC + t

Erhältst du rechts und links vom Gleichheitszeichen die gleiche Zahl, liegen die drei Punkte auf einer Geraden, ansonsten nicht.
Beispiel
Liegen die drei Punkte auf einer Geraden?
A(1|2), B(3|8) und C(4|9)
Wie berechnet man den y-Achsenabschnitt einer Geraden, wenn die Steigung und ein Punkt bekannt sind?
#150
Ist eine Gerade g durch ihre Steigung m und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man den y-Achsenabschnitt t leicht bestimmen:
  1. Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + t (für m setze die bekannte Steigung ein).
  2. Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
  3. Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten t auf.
Beispiel
Wo schneidet die Gerade, die durch 
m
=
−
1,6
 und P(2|−0,5) gegeben ist, die y-Achse?
Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden mit bekanntem y-Achsenabschnitt und einem weiteren Punkt?
#656
Ist eine Gerade g durch ihren y-Achsenabschnitt t und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man die Steigung m leicht bestimmen:
  1. Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + t (für t setze den bekannten y-Achsenabschnitt ein).
  2. Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
  3. Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten m auf.
Beispiel
Welche Steigung hat die Gerade, die durch t = 2,5 und P(2 | -0,5) gegeben ist?
Wie lautet die Geradengleichung?
Wie berechnet man die Steigung einer Geraden mit zwei gegebenen Punkten?
#151
Ist eine Gerade g durch zwei Punkte A(x1|y1) und B(x2|y2) gegeben, so kann man ihre Steigung m so berechnen:
  1. Berechne die Differenz der y-Werte beider Punkte, also Δy = y2 − y1.
  2. Berechne ebenso die Differenz der x-Werte beider Punkte, also Δx = x2 − x1.
  3. Der Bruch Δy / Δx ergibt die Steigung m.
Beispiel
Ermittle die Steigung der Gerade, die durch die Punkte (-1,5 | 2,5) und (0 | -3) geht.
Wie bestimmt man die Gleichung einer Geraden aus zwei gegebenen Punkten?
#154

Ist eine Gerade durch zwei Punkte gegeben, so geht man wie folgt vor, um ihre Gleichung, sprich m und t, zu ermitteln:

  1. Bestimme zunächst die Steigung m = Δy / Δx .
  2. Setze dann in die Gleichung y = m·x + t einen der beiden Punkte ein und löse die Gleichung nach t auf.
Beispiel
Ermittle die Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte P1(−3|2) und P2(5|−4) geht.