8.17 Vermischte Übungen, Matheübungen

Funktionen - Lehrwerk Westermann (5.-10. Klasse)

Hilfe
  • Kennt man die Steigungen und y-Achsenabschnitte zweier Geraden, kann man OHNE RECHNUNG angeben, wie die Geraden zueinander liegen:
    • Steigungen gleich, y-Achsenabschnitte nicht gleich: Die Geraden sind echt parallel.
    • Steigungen gleich, y-Achsenabschnitte gleich: Die Geraden sind identisch.
    • Steigungen nicht gleich, y-Achsenabschnitte nicht gleich: Die Geraden schneiden sich.
    • Steigungen nicht gleich, y-Achsenabschnitte gleich: Die Geraden schneiden sich auf der y-Achse.
      Der Schnittpunkt kann direkt angegeben werden: S ( 0 | c )

Lies jeweils die Steigung und den y-Achsenabschnitt ab und gibt dann OHNE RECHNUNG an, ob die beiden Geraden sich schneiden, echt parallel oder identisch sind.

  • Gerade g: y
    =
    4
     
    x
    +
    5
    Gerade h: y
    =
    4
     
    x
    −
    3
    m
    g
    =
    m
    h
    =
    t
    g
    =
    t
    h
    =
    Die Geraden g und h 
    .
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Wie zeichnet man eine Gerade, wenn Steigung m und y-Achsenabschnitt t bekannt sind?
#810
Um die Gerade mit der Gleichung y=mx+t zu zeichnen, gehe am besten wie folgt vor:
  1. Stelle die Steigung m als Bruch dar (falls nicht schon als Bruch gegeben), z.B. m = -1/4 .
  2. Gehe vom Schnittpunkt mit der y-Achse, also P(0|t) aus um den Nennerbetrag, hier also um 4, nach rechts.
  3. Gehe dann um den Zählerbetrag nach oben (falls m postiv) bzw. unten (falls m negativ). Hier also um 1 nach unten. Damit hast du einen zweiten Punkt und kannst die Gerade zeichnen.
Die Schritte 2 und 3 können auch vertauscht werden. Ebenso ist es egal, ob du Kästchen oder ganze Einheiten abzählst. Wichtig ist nur, dass du nach rechts und nach oben (bzw. unten) die gleichen Schrittlängen abgehst.
Beispiel
Bestimme zeichnerisch: Welchen y-Achsenabschnitt besitzt die Gerade g, die durch den Punkt (−3|−1) geht und parallel ist zur Geraden h mit der Gleichung 
y
=
1
−
0,25x
 
?
Beispiel
Dirk wiegt 72 kg und möchte mit Krafttraining Muskelmasse aufbauen, um Wrestler im Superschwergewicht zu werden. Mit Hilfe eines strengen Trainings- und Ernährungsplans will er pro Monat ca. 5kg zulegen. Sebastian hat mit 102kg deutlich Übergewicht und will durch eine disziplinierte Diät wöchentlich ca. 500g abnehmen. Nach wie vielen Wochen wären Dirk und Sebastian gleich schwer, wenn sie mit der Umsetzung ihrer Pläne zur selben Zeit beginnen und durchhalten?
Wie berechnet man die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenachsen?
#842

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

Jede Gerade, die nicht parallel zu einer der Koordinatenachsen verläuft, schneidet jede Achse genau einmal.
  • Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist dort, wo die x-Koordinate den Wert 0 annimmt. Er kann aus der Geradengleichung abgelesen werden, z.B ist bei y=2x−3 der y-Achsenabschnitt −3 und damit Sy(0|−3)
  • Am Schnittpunkt mit der x-Achse ist die y-Koordinate 0. Um die x-Koordinate des Schnittpunkts zu bestimmen, setzt du in der Geradengleichung y=0 und löst die Gleichung nach x auf.
  • Die Stelle x, an der die Gerade die x-Achse schneidet, bezeichnet man auch als Nullstelle.
Beispiel
Bestimme die Schnittpunkte der Gerade 
g:y
=
3x
+
7
 mit den Koordinatenachsen.
Wie bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden anhand ihrer Steigungen und y-Achsenabschnitte ohne zu rechnen?
#1122
Kennt man die Steigungen und y-Achsenabschnitte zweier Geraden, kann man OHNE RECHNUNG angeben, wie die Geraden zueinander liegen:
  • Steigungen gleich, y-Achsenabschnitte nicht gleich: Die Geraden sind echt parallel.
  • Steigungen gleich, y-Achsenabschnitte gleich: Die Geraden sind identisch.
  • Steigungen nicht gleich, y-Achsenabschnitte nicht gleich: Die Geraden schneiden sich.
  • Steigungen nicht gleich, y-Achsenabschnitte gleich: Die Geraden schneiden sich auf der y-Achse.
    Der Schnittpunkt kann direkt angegeben werden: S ( 0 | c )