8.5 Sklaraprodukt und Winkelgrößen, Matheübungen

Grundlagen der Koordinatengeometrie im Raum - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-12. Klasse)

Hilfe
  • Zur Erinnerung: Zwei Vektoren sind genau dann parallel, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist (Multiplikation mit einem Skalar).
  • Zwei Vektoren (jeweils ungleich dem Nullvektor) stehen genau dann senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

Bestimme k jeweils so, dass beide Vektoren parallel bzw. senkrecht zueinander stehen. Gib "!" an, falls es keine Lösung für k gibt. Evtl. auftretende Brüche in der Form "a/b" bzw. "-a/b" eingeben.

  • a
    k
    =
    2
    −
    1
    1
    +
    k
     
         
     
    b
    =
    −
    4
    2
    5
    a
    k
     
    ||
     
    b
     
       für k
    =
    a
    k
     
    ⊥
     
    b
     
       für k
    =
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keine Berechtigung
Wie berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren und welche Art von Ergebnis liefert es?
#616

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine reelle Zahl (kein Vektor!).

Definiert wird es als Produkt ihrer Längen, multipliziert mit cos(α), wobei mit α der Winkel zwischen beiden Vektoren gemeint ist (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, 0° ≤ α ≤ 180°).

Noch einfacher lässt es sich berechnen, indem man die Koordinaten beider Vektoren zeilenweise multipliziert und die Produkte addiert.

Wie kann man feststellen, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander sind?
#617
Zwei Vektoren (jeweils ungleich dem Nullvektor) stehen genau dann senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
Beispiel 1
Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten A(0|9|-1), B(-2|-5|3) und C(-2|-3|1). Prüfe, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Beispiel 2

Bestimme k so, dass beide Vektoren senkrecht zueinander sind.

\[ \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ 5 \end{pmatrix} \perp \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix} \]
Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
#618
Für den Winkel α zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, 0° ≤ α ≤ 180°) gilt:

cos(α) = Skalarprodukt beider Vektoren : Produkt ihrer Längen

Beispiel
v
=
1
−
3
4
 
     
 
w
=
0
7
−
8
 
     
 
∠
 
v
 
,
 
w
 
≈
 
?
 
°