9.2 Ereignisse, Matheübungen

Daten und Zufall - Lehrwerk Westermann (5.-10. Klasse)

Hilfe
  • Unterscheide bei einem Zufallsexperiment zwischen
    • Ergebnis: z.B. die Augenzahlen 1, 2, ...6 beim Würfeln
    • Ereignis: eine bestimmte Auswahl von Ergebnissen, also z.B. "ungerade Augenzahl"

Ein Würfel wird geworfen. Welche Ergebnisse sind für die folgenden Ereignisse möglich?

  • Ereignis: Die Zahl ist ungerade.
    Mögliche Ergebnisse:
    1  2  3  4  5  6
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Was bedeutet die Mächtigkeit |Ω| einer Ergebnismenge?
#161
Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse einer Ergebnismenge nennt man Mächtigkeit |Ω|.
Beispiel
Man würfelt zweimal und zieht von der zuerst geworfenen Augenzahl die zweite ab. Bestimme die Mächtigkeit der Ergebnismenge.
Was versteht man unter der Ergebnismenge Ω eines Zufallsexperiments?
#163

Unter Ergebnismenge Ω (oder auch Ergebnisraum) eines Zufallsexperiments versteht man die Menge aller Ergebnisse, die sich bei dem Experiment ergeben können.

Es hängt auch davon ab, welche Merkmale man überhaupt betrachtet. Daher können bei einem Zufallsexperiment meistens mehrere Ergebnismengen angegeben werden. Dabei sind folgende Regeln zu beachten:

  • Ω muss alle möglichen Ergebnisse bzgl. des betrachteten Merkmals enthalten.
  • Die in Ω enthaltenen Ergebnisse müssen klar voneinander abgrenzbar sein.
Was versteht man in der Wahrscheinlichkeitsrechnung unter einem Ereignis und dessen Eintritt?
#162

Bei einem Zufallsexperiment schaut man auf bestimmte Ergebnisse. Yasmin wettet z.B. mit ihrer Freundin um 50 €, dass Sie beim nächsten Wurf mit dem Würfel eine gerade Zahl erhält.

In der Sprache der Wahrscheinlichkeitsrechnung setzt Yasmin auf das Ereignis "gerade Zahl". Dieses Ereignis tritt ein, wenn Sie z.B. eine 4 würfelt. Die Augenzahl 4 nennt man dann ein (für das Ereignis) günstiges Ergebnis. Alle anderen Augenzahlen nennt man ungünstig.

Wie wird ein Ereignis in der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschrieben und gib ein Beispiel.
#164

Ein Ereignis ist eine Auswahl aus der Menge aller möglichen Versuchsausgänge. Es kann daher als Teilmenge der Gesamtmenge Ω aufgefasst werden.

Statt ein Ereignis mit Worten zu beschreiben, wie z.B. gerade Augenzahl (beim Würfeln), kann man es auch in aufzählender Form, also als Menge {2;4;6} schreiben.

Mit der Mächtigkeit |E| ist dann, wie bei |Ω|, die Anzahl der Ergebnisse gemeint, die in der Menge E enthalten sind.

Wie kann das Zählprinzip bei mehrstufigen Zufallsexperimenten angewendet werden? Erkläre dies an einem Beispiel.
#168

Setzt sich ein Zufallsexperiment aus mehreren Stufen zusammen (z.B. dreimal hintereinander Würfeln oder sechs Kugeln hintereinander aus einer Urne ziehen) und hängt die Anzahl der Möglichkeiten auf jeder Stufe nicht davon ab, was auf einer vorangegangenen Stufe gezogen wurde, so lässt sich die Anzahl aller Versuchsausgänge mit dem sogenannten Zählprinzip bestimmen: Betrachte dazu auf jeder Stufe die Anzahl der Möglichkeiten und multipliziere diese Zahlen miteinander.

Oft entstehen hierbei Produkte der Art n·(n-1)·(n-2)·...·2·1; dafür gibt es die abkürzende Schreibweise n! ("n-Fakultät").

Beispiel
Eine vierstellige Zahl soll durch einen Zufallsgenerator erzeugt werden, wobei folgende Vorgaben gemacht werden: an der ersten und dritten Stelle muss eine gerade Ziffer stehen, an der zweiten Stelle eine durch 3 teilbare Ziffer und an letzter Stelle eine Ziffer kleiner als 7. Wie viele Ergebnisse sind möglich?
Was versteht man unter einem Gegenereignis und welche häufige Verwechslung gibt es dabei?
#169
Jedes Ereignis E besitzt ein Gegenereignis E, das alle anderen Ergebnisse umfasst, die die nicht zu E gehören. Jedes Ergebnis eines Zufallsexperiments gehört also entweder zu E oder zum E.

Achtung: Gegenereignis ≠ Gegenteil (umgangssprachlich). Das Gegenereignis von z.B. "alle Bälle weiß" (beim mehrmaligen Ziehen aus einer Urne mit schwarzen und weißen Bällen) ist nicht "alle Bälle schwarz", sondern "mindestens ein Ball schwarz".

Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis ergänzen sich jeweils zu 100%.

Beispiel 1
Formuliere jeweils das Gegenereignis:
Experiment Einmal Würfeln:
     A: gerade Augenzahl     B: Augenzahl kleiner als 2     C: Augenzahl 3
Experiment 5 mal hintereinander die Münze werfen:
     D: letzter Wurf Kopf     E: nur Kopf     F: mindestens zweimal Zahl
Beispiel 2
Beim Würfeln mit zwei Würfeln gelten folgende gerundete Wahrscheinlichkeiten:
Augensumme
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Wahrscheinlichkeit
2,8%
5,6%
8,3%
11,1%
13,9%
16,6%
13,9%
11,1%
8,3%
5,6%
2,8%
Berechne die Wahrscheinlichkeit für "Augensumme ist mindestens 4".
Was ist der Unterschied zwischen einem Ergebnis und einem Ereignis bei einem Zufallsexperiment?
#543
Unterscheide bei einem Zufallsexperiment zwischen
  • Ergebnis: z.B. die Augenzahlen 1, 2, ...6 beim Würfeln
  • Ereignis: eine bestimmte Auswahl von Ergebnissen, also z.B. "ungerade Augenzahl"