Ableitung einer ganzrationalen Funktion, Matheübungen

Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichem Exponent, Summen- und Faktorenregel. - Lehrplan für 5.-13. Klasse - 30 Aufgaben in 6 Levels

Hilfe
  • Hilfe zum Zwischenschritt

    Leite jeden Summanden einzeln nach \(x\) ab. Der Parameter \(k\) bleibt dabei wie ein fester Zahlenfaktor stehen.

  • Stoff zum Level

    Um zu ermitteln, ob die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 überhaupt gelöst werden kann und ob es - falls ja - eine oder zwei Lösungen gibt, berechnet man am besten zuerst die sog. Diskriminante:

    D = b² − 4ac

    • Gilt D < 0, so ist die quadratische Gleichung unlösbar.
    • Gilt D = 0, so hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung.
    • Gilt D > 0, so hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.
  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 5
  • Ermittle die Anzahl von Stellen mit waagrechter Tangente in Abhängigkeit von \(k\text{.}\)
  • Zwischenschritte aktiviert
  • Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.

    • Gegeben ist \(\displaystyle f_k(x)=kx^3+3x^2-3x\) mit \(\displaystyle k\in\mathbb{Z}\) und \(\displaystyle k\ne0\text{.}\)

    Ergänze die Tabelle zur Anzahl der Stellen, an denen der Graph eine waagrechte Tangente hat. Trage die Grenzzahl in jeder Zeile erneut ein.

    BedingungAnzahl der Stellen
    \(\displaystyle k<\)  ▉  ▉ 
    \(\displaystyle k=\)  ▉  ▉ 
    \(\displaystyle k>\)  ▉  ▉ 
    Schritt 1 von 3

    Gegeben ist \(\displaystyle f_k(x)=kx^3+3x^2-3x\) mit \(\displaystyle k\in\mathbb{Z}\) und \(\displaystyle k\ne0\).

    Bestimme die erste Ableitung.

    \(\displaystyle f'_k(x)=\)

Hilfe
Notizen
Zeichen
Lösung
  • Achtung
    Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt der Zwischenschritt als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diese Aufgabe verschlechtert sich. Tipp: Sieh dir vor dem Anzeigen der Lösung die Hilfe zu dieser Aufgabe an.
Stoff zum Thema (+Video)
Ableitung von x^n
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Ableitung von x^n - Beweis
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Wie lautet die Ableitung von f(x) = a·x^m und welche zwei Spezialfälle gibt es dazu?
#754
Wenn f(x) = a · xm mit a ∈ ℝ und m ∈ ℤ \ {0}, dann ist
f ′(x) = a · m · x m−1.

Spezialfälle:

  • f(x) = a · x ⇒ f ´ (x) = a
  • f(x) = a ⇒ f ´ (x) = 0

Wie berechnet man die Diskriminante einer quadratischen Gleichung und was sagt sie aus?
#843

Um zu ermitteln, ob die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 überhaupt gelöst werden kann und ob es - falls ja - eine oder zwei Lösungen gibt, berechnet man am besten zuerst die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

  • Gilt D < 0, so ist die quadratische Gleichung unlösbar.
  • Gilt D = 0, so hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung.
  • Gilt D > 0, so hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.