Ableitung - Potenzfunktion - ganzzahliger Exponent, Matheübungen

Ableitung von Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponent und ganzrationalen Funktionen (Summen- und Faktorregel); betrachtet werden auch Funktionen mit Parametern - 30 Aufgaben in 7 Levels

Hilfe
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, deren Nenner nur eine x-Potenz enthält, so lässt sich der Funktionsterm umformen in eine Reihe von x-Potenzen. Die Ableitung kann dann ganz einfach mithilfe der Regel für Potenzfunktionen gebildet werden.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 6
  • Bestimme die Ableitung und vereinfache diese so, dass dein Term unten nachgebildet werden kann.
  • Zwischen­schritte aktivieren
    • f
     
    x
    =
    2x
    3
    +
    4x
    2
    −
    6
    2x
    f´
     
    x
    =
    +
    x
    Hinweis: die ersten beiden Summanden gehören ins erste Feld.
  • keine Berechtigung
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
Hilfe
Hilfe
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Wenn du ein Benutzerkonto hast, logge dich bitte zuvor ein.
Lösung
Achtung
Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt die Aufgabe als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diesen Level verschlechtert sich. Tipp: Schau dir vor dem Anzeigen der Lösung die Beispiel-Aufgabe zu diesem Aufgabentyp an.
Stoff zum Thema (+Video)
Ableitung von x^n
Lernvideo

Ableitung von x^n

Kanal: Mathegym
Ableitung von x^n - Beweis
Lernvideo

Ableitung von x^n - Beweis

Kanal: Mathegym
Wie lautet die Ableitung von f(x) = a·x^m und welche zwei Spezialfälle gibt es dazu?
#754
Wenn f(x) = a · xm mit a ∈ ℝ und m ∈ ℤ \ {0}, dann ist
f ′(x) = a · m · x m−1.

Spezialfälle:

  • f(x) = a · x ⇒ f ´ (x) = a
  • f(x) = a ⇒ f ´ (x) = 0

Beispiel
f
 
x
=
1
2x
10
f ´
 
x
=
?
Wie kann ein gebrochen rationaler Term in eine ganzrationale Form umgewandelt werden und welchen Vorteil hat das beim Ableiten?
#750
Liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, deren Nenner nur eine x-Potenz enthält, so lässt sich der Funktionsterm umformen in eine Reihe von x-Potenzen. Die Ableitung kann dann ganz einfach mithilfe der Regel für Potenzfunktionen gebildet werden.
Beispiel
f
 
x
=
2x
7
−
3x
+
5
2x
f ´
 
x
=
?
Was folgt für die Ableitung und jede Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion mit ungeradem Grad und negativem Leitkoeffizienten?
#845
Die Ableitung von a·xn ist a·n·xn−1. Für ganzrationale Funktionen gilt daher:
  • Wenn f den Grad n besitzt, dann besitzt die Ableitung f´ den Grad n−1 und jede Stammfunktion F den Grad n+1. Insbesondere ist der Grad von f´ und F damit ungerade, falls der Grad von f eine gerade Zahl ist und umgekehrt.
  • Wenn der Leitkoeffizient von f(x), also der Faktor vor der höchsten x-Potenz, eine positive bzw. negative Zahl ist, dann gilt das auch für die Leitkoeffizienten von f´ und F.
Beispiel
Abgebildet ist der Graph der ganzrationalen Funktion f. Setze den Term der Ableitung f´(x) richtig zusammen. Wähle dazu aus der ersten und letzten Spalte jeweils den passenden Teilterm aus (in der Mitte steht immer 4x).
f´(x)
=
x
4
x
5
−
x
4
−
x
5
+
4x
 
+
 
x
+
 
1
−
 
1
graphik

Mathe-Aufgaben passend zu deinem Lehrplan

Aufgaben für deinen Lehrplan
Wir zeigen dir exakt die Mathe-Übungen, die für deinen Lehrplan bzw. Bundesland vorgesehen sind. Wähle dazu bitte deinen Lehrplan.
Lehrplan wählen