Ableitung und Grenzwerte von Verknüpfungen mit der ln-Funktion, Matheübungen

Sämtliche Ableitungsregeln in Kombination, Grenzwerte von verketteten Funktionen - Lehrplan G9 (5.-13. Klasse) - 22 Aufgaben in 5 Levels

Hilfe
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Die ln-Funktion verändert sich wesentlich langsamer als jede Potenzfunktion. Daher gilt:
    • für x → ∞ strebt der Quotient aus ln(x) und xn gegen 0
    • für x → 0+ strebt das Produkt aus ln(x) und xn gegen 0
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 5
  • Bestimme. Aktiviere die Tastatur für Sonderzeichen, um "∞" eingeben zu können. Gib "!" ein, falls der Limes nicht existiert.
    • lim
    x → ∞
     
     
    ln
    x
    x
    −
    1
    =
  • keine Berechtigung
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
Hilfe
Hilfe
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Wenn du ein Benutzerkonto hast, logge dich bitte zuvor ein.
Lösung
Achtung
Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt die Aufgabe als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diesen Level verschlechtert sich. Tipp: Schau dir vor dem Anzeigen der Lösung die Beispiel-Aufgabe zu diesem Aufgabentyp an.
Stoff zum Thema (+Video)
Wie lauten die Ableitungen der Exponentialfunktion und der natürlichen Logarithmusfunktion?
#518
f (x) = ex ⇒ f ´ (x) = ex
f (x) = ln(x) ⇒ f ´ (x) =1/x
Wie lauten die Produkt- und Quotientenregel der Ableitung?
#652
Produktregel:

Wenn f(x) = u(x)⋅v(x) dann ist f ′(x) = u′(x)⋅v(x) + v′(x)⋅u(x)

Quotientenregel:

Wenn f(x)= u(x) / v(x) dann ist f ′(x) = [ u′(x)⋅v(x) − v′(x)⋅u(x) ] / [v(x)]2

Beispiel
f
 
x
=
x
·
ln(x)
f '
 
x
=
?
Wann und wie wird die Kettenregel in der Mathematik angewendet?
#329
Kettenregel:

Wenn f(x) = g( h(x) ), dann ist f ′(x) = g′( h(x) )⋅h′(x)

Beispiel
f
 
x
=
x
·
cos
ln(x)
f '
 
x
=
?
Wie verhält sich die natürliche Logarithmusfunktion ln(x) an den Rändern ihres Definitionsbereichs?
#552
ln(x) strebt
  • gegen −∞ für x → 0+
  • gegen ∞ für x → ∞
Beispiel
lim
x → −∞
    
ln
 
1
−
x
2
x
+
1
=
?
Wie verhalten sich der Quotient aus ln(x) und x^n für x → ∞ und das Produkt aus ln(x) und x^n für x → 0^+?
#554
Die ln-Funktion verändert sich wesentlich langsamer als jede Potenzfunktion. Daher gilt:
  • für x → ∞ strebt der Quotient aus ln(x) und xn gegen 0
  • für x → 0+ strebt das Produkt aus ln(x) und xn gegen 0
Beispiel
lim
x → ∞
    
ln
 
1
x
x
−
x
2
=
?