Ableitung und Monotonie, Matheübungen

Bestimmung von Monotonieintervallen anhand des Graphen und mit Hilfe der ersten Ableitung

Hilfe

  • Eine Funktion f ist in einem Intervall streng monton steigend, wenn für zwei unterschiedliche Werte a und b aus diesem Intervall mit a<b stets gilt f(a)<f(b).

    Eine Funktion f ist in einem Intervall streng monton fallend, wenn für zwei unterschiedliche Werte a und b aus diesem Intervall mit a<b stets gilt f(a)>f(b).

    Mit Monotonieintervall ist jeweils das größtmögliche Intervall innerhalb von Df gemeint, in dem eine strenge Monotonie vorliegt.

Skizziere den Graphen der Funktion im maximalen Definitionsbereich und ermittle die Monotonieintervalle.

  • f
     
    x
    =
    1
    x
    −
    3
    G
    f
     fällt streng monoton für
     
    x ∈ ℝ\{3}
       
     
    x
     
    <
     
    1
       
     
    x
     
    >
     
    1
       
     
    x
     
    <
     
    3
       
     
    x
     
    >
     
    3
    G
    f
     steigt streng monoton für
     
    x ∈ ℝ\{3}
       
     
    x
     
    <
     
    1
       
     
    x
     
    >
     
    1
       
     
    x
     
    <
     
    3
       
     
    x
     
    >
     
    3
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keine Berechtigung
Was zeigt das Vorzeichen der Ableitung f'(x) einer Funktion an?
#400

Die Ableitung f´ einer differenzierbaren Funktion f liefert für jede definierte Stelle x die lokale Änderungsrate (= Steigung des Graphen von f an dieser Stelle). Insbesondere zeigt das Vorzeichen von f´ an, ob f im betrachteten Intervall zunimmt oder abnimmt:

f´(x) f bzw. Gf
> 0 streng monoton zunehmend bzw. wachsend
< 0 streng monoton abnehmend bzw. fallend
= 0 waagrechte Tangente

Achtung: die Tabelle ist von links nach rechts zu lesen, d.h. aus f´(x)>0 in einem bestimmten Intervall kann auf strenge Monotonie von f geschlossen werden - aber nicht umgekehrt. Wenn f in einem bestimmten Intervall streng monoton wächst, kann es dort durchaus einzelne Stellen geben, an denen die Ableitung gleich null ist (waagrechte Tangente).

Beispiel
Bestimme die Monotonieintervalle der ganzrationalen Funktion f aufgrund der gegebenen ersten Ableitung.
f ´
 
x
=
−
1
3
·
x
3
·
x
+
5
Was bedeutet "streng monoton steigend/fallend" bei Funktionen?
#1135

Eine Funktion f ist in einem Intervall streng monton steigend, wenn für zwei unterschiedliche Werte a und b aus diesem Intervall mit a<b stets gilt f(a)<f(b).

Eine Funktion f ist in einem Intervall streng monton fallend, wenn für zwei unterschiedliche Werte a und b aus diesem Intervall mit a<b stets gilt f(a)>f(b).

Mit Monotonieintervall ist jeweils das größtmögliche Intervall innerhalb von Df gemeint, in dem eine strenge Monotonie vorliegt.

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