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Ableitungsregeln - Teil 2 (Faktor- und Summenregel), Mathe-Übungen
Schlüsselkonzept: Ableitung - Differenzialrechnung - Lehrplan für 5.-13. Klasse
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Beispielaufgabe
Wenn f(x) = a · x
r
mit a ∈ ℝ und r ∈ ℚ \ {0}, dann ist
f
′
(x) = a · r · x
r−1
.
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Ergänze die passenden Vorfaktoren, evtl. auch "0", falls eine Potenz nicht vorkommt.
f
x
=
1
3
·
x
1
4
−
9x
−
1
+
2
3
x
f '
x
=
x
−
2
+
x
−
3
4
+
x
−
1
4
+
+
x
1
4
+
x
5
4
+
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Stoff zum Thema
Wenn f(x) = a · x
m
mit a ∈ ℝ und m ∈ ℤ \ {0}, dann ist
f
′
(x) = a · m · x
m−1
.
Spezialfälle:
f(x) = a · x ⇒ f ´ (x) = a
f(x) = a ⇒ f ´ (x) = 0
Beispiel
f
x
=
1
2x
10
f ´
x
=
?
Die Ableitung von a·x
n
ist a·n·x
n−1
. Für ganzrationale Funktionen gilt daher:
Wenn f den Grad n besitzt, dann besitzt die Ableitung f´ den Grad n−1 und jede Stammfunktion F den Grad n+1. Insbesondere ist der Grad von f´ und F damit ungerade, falls der Grad von f eine gerade Zahl ist und umgekehrt.
Wenn der Leitkoeffizient von f(x), also der Faktor vor der höchsten x-Potenz, eine positive bzw. negative Zahl ist, dann gilt das auch für die Leitkoeffizienten von f´ und F.
Beispiel
Abgebildet ist der Graph der ganzrationalen Funktion f. Setze den Term der Ableitung f´(x) richtig zusammen. Wähle dazu aus der ersten und letzten Spalte jeweils den passenden Teilterm aus (in der Mitte steht immer 4x).
f´(x)
=
x
4
x
5
−
x
4
−
x
5
+
4x
+
x
+
1
−
1
Liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, deren Nenner nur eine x-Potenz enthält, so lässt sich der Funktionsterm umformen in eine Reihe von x-Potenzen. Die Ableitung kann dann ganz einfach mithilfe der Regel für Potenzfunktionen gebildet werden.
Beispiel
f
x
=
2x
7
−
3x
+
5
0,5x
f´
x
=
?
Wenn f(x) = a · x
r
mit a ∈ ℝ und r ∈ ℚ \ {0}, dann ist
f
′
(x) = a · r · x
r−1
.
Beispiel 1
f
x
=
1
4
·
x
1
3
+
7x
−
2
+
2
3
f '
x
=
?
Beispiel 2
f
x
=
3
x
−
5
3
x
2
+
7
x
2
f '
x
=
?
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