1.2 Die allgemeine Exponentialfunktion, Matheübungen

1.2 Die allgemeine Exponentialfunktion - Lehrwerk mathe.delta (5.-10. Klasse) - 48 Aufgaben in 10 Levels

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  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe

    Wachstumsrate = Wachstumsfaktor \(a − 1\)

    Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt um \(20\,\%\) (= Rate) zu, so hat er sich auf \(120\,\%\; (= a)\) des ursprünglichen Bestands vergrößert.

    Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt um \(20\,\%\) (Rate) ab, so hat er sich auf \(80\,\%\; (= a)\) des ursprünglichen Bestands verringert.

    Ansonsten bedenke, dass \(80\,\% = 0{,}8\) und \(120\,\% = 1{,}2.\)

  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Funktionen mit der Gleichung f(x) = b · ax heißen Exponentialfunktionen. Dabei ist
    • a > 0 der Wachstumsfaktor und
    • b = f(0) der Anfangsbestand
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 4
  • Bestimme den Term der gesuchten Exponentialfunktion \(f\) in der Form \(f(x)=b\cdot a^x\).

    • Ein Aktiendepot mit einem Startwert von \(\displaystyle 5000\) € verzeichnet pro Jahr einen Wertzuwachs von \(\displaystyle 6{,}5\, \%.\) \(\displaystyle x\) ist die verstrichene Zeit in Jahren. Die Funktion \(\displaystyle f(x)\) gibt den Wert des Depots nach \(\displaystyle x\) Jahren in € an.

    \(\displaystyle f(x)=\class{mathjax-input mathjax-input-1}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}\cdot \class{mathjax-input mathjax-input-2}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}^x\) 

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Stoff zum Thema (+Video)
Wie beeinflussen die Parameterwerte den Verlauf des Graphen einer Exponentialfunktion?
#349
Der Graph einer Exponentialfunktion mit der Gleichung y = b · ax hat stets die x-Achse als Asymptote und schneidet die y-Achse in (0|b).

Im Fall b > 0

  • steigt der Graph für a > 1 ("ins Unendliche")
  • fällt der Graph für 0 < a < 1

Im Fall b < 0 (Spiegelung an der x-Achse gegenüber dem positiven Betrag von b) verhält es sich genau umgekehrt.

Beispiel
Für welche Werte von a
(a) fällt der Graph von    f(x)
=
a
+
1
·
x
−
2
 
   streng monoton?
(b) steigt der Graph von    f(x)
=
2
·
a
−
x
 
   streng monoton?
Wie beeinflussen die Werte von a und b sowie ihre Modifikationen den Graphen der Funktion f(x) = b*a^x?
#951
Ist f(x) = b·ax, so gilt für
  • b>0 und a>1:
    der zugehörige Graph schneidet die y-Achse im positiven Bereich und steigt an (umso steiler, je größer a)
  • b>0 und 0<a<1:
    der zugehörige Graph schneidet die y-Achse im positiven Bereich und fällt (umso steiler, je kleiner a)
  • g(x) = −b·ax:
    der Graph von g entsteht, indem man den Graphen von f an der x-Achse spiegelt
  • h(x) = b·(1/a)x:
    der Graph von h entsteht, indem man den Graphen von f an der y-Achse spiegelt
Beispiel
Skizziere die Graphen folgender Funktionen:
f
 
x
=
2
·
1,5
x
     
g
 
x
=
5
·
1,1
x
     
h
 
x
=
3
·
3
4
x
     
i
 
x
=
−
2
·
1,5
x
     
k
 
x
=
3
·
4
3
x
Wo ergeben sich welche Symmetrien? Welche Funktion wächst am stärksten?
Was ist der allgemeine Term einer Exponentialfunktion und welche Bedeutung haben die Parameter?
#350
Funktionen mit der Gleichung f(x) = b · ax heißen Exponentialfunktionen. Dabei ist
  • a > 0 der Wachstumsfaktor und
  • b = f(0) der Anfangsbestand
Beispiel 1
Gegeben ist der Graph einer Exponentialfunktion mit der Gleichung 
y
=
b
·
a
x
. Bestimme a und b.
graphik
Beispiel 2
Schreibe in der Form 
f
 
x
=
b
·
a
x
.
f
 
x
=
1
5
6
·
2
1
−
x
Beispiel 3
Ein zu festem Jahreszinssatz angelegtes Kapital ist innerhalb von 10 Jahren auf 300% angewachsen. Wie hoch ist der Zinsatz?
Was bleibt beim exponentiellen Wachstum gleich und wie geht man bei typischen Fragestellungen vor?
#724
Exponentielles Wachstum:
Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
B(n + 1) = B(n) · k.

  • B(n) gesucht:
    • Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
    B(n) = B(0) · kn

  • n gesucht:
    • Ist n gesucht, löst man die Formel nach n auf:
    B(n) = B(0) · kn | : B(0)
    B(n) / B(0) = kn | log
    log( B(n) / B(0) ) = log( kn)
    log( B(n) / B(0) ) = n · log( k ) | : log( k )
    n = log( B(n) / B(0) ) / log( k )

  • B(0) gesucht:
    • Ist B(0) gesucht, löst man die Formel nach B(0) auf:
    B(n) = B(0) · kn | : kn
    B(0) = B(n) / kn

  • k gesucht:
    Ist k gesucht, löst man die Formel nach k auf:
    B(n) = B(0) · kn | : B(0)
    B(n) / B(0) = kn
    Zuletzt zieht man noch die n-te Wurzel
Beispiel
Ein Kapital von 2000 € vermehrt sich auf einem Sparkonto pro Jahr um 0,1%.
Nach 8 Jahren beträgt das Kapital auf dem Konto:
?
 
Euro
 
?
 
Cent