Analysis - Funktionen und ihre Eigenschaften, Matheübungen

- Basisaufgaben zur Wiederholung G9 - 110 Aufgaben in 21 Levels

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    Die Nullstellen des Graphen sind die Nullstellen des Zählers des Funktionsterms.

    Die Polstellen des Graphen sind die Nullstellen des Nenners des Funktionsterms. Wenn die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel ist, ist der Nennergrad gerade, bei einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel ist er ungerade.

    Wenn der Graph die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote hat, gilt: Zählergrad < Nennergrad.

    Wenn der Graph eine waagrechte Asymptote hat, die nicht die \(x\)-Achse ist, dann gilt Zählergrad = Nennergrad. Außerdem kann man aus der Gleichung der Asymptoten die Leitkoeffizienten ablesen: \(y=\frac{a}{b} \Rightarrow f(x)=\frac{a(x - x_1)(x - x_2)}{b(x - p_1)(x - p_2)}\)

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  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 10

  • Bestimme einen möglichen Term zum Graphen. Zähler- und Nennergrad sind höchstens \(2\).

  • Zwischen­schritte aktivieren

    • \(f(x)=\frac{\displaystyle\class{mathjax-input mathjax-input-1}{\mspace{3mu}\Rule{3.3em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}(x\displaystyle\class{mathjax-input mathjax-input-2}{\mspace{3mu}\Rule{2.1em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}\class{mathjax-input mathjax-input-3}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}})^\class{mathjax-input mathjax-input-4}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}}{\displaystyle\class{mathjax-input mathjax-input-5}{\mspace{3mu}\Rule{3.3em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}(x\displaystyle\class{mathjax-input mathjax-input-6}{\mspace{3mu}\Rule{2.1em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}\class{mathjax-input mathjax-input-7}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}})^\class{mathjax-input mathjax-input-8}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}}\)

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Stoff zum Thema (+Video)
Was versteht man unter einer abschnittweise definierten Funktion und wie prüft man ihre Stetigkeit?
#1056
Funktionen können auch durch mehrere Funktionsterme definiert sein, die jeweils in bestimmten Abschnitten der Gesamtdefinitionsmenge gelten. Man spricht von abschnittsweise definierten Funktionen.

Bei solchen Funktionen können an den Nahtstellen, also dort, wo die Abschnitte aufeinandertreffen, Unstetigkeitsstellen auftreten. Um die Funktion an einer Nahtstelle auf Stetigkeit zu überprüfen, setzt man diese in die Funktionsterme der beiden angrenzenden Abschnitte ein. Ergeben sich unterschiedliche Termwerte, so liegt eine Unstetigkeitsstelle vor. Ansonsten ist die Funktion dort stetig.

Beispiel
Überprüfe auf Stetigkeit.
f
 
x
=
−
3x
+
1
7
    
 
 
für x
 
<
 
−
4
1
x
−
3
+
2
    
für
−
4
 
≤
 
x
 
<
 
3
x
2
−
9
    
    
 
 
für x
 
≥
 
3
Wie erkennt man Achsen- und Punktsymmetrie bei Funktionen, insbesondere bei ganzrationalen Funktionen?
#758
  • Achsensymmetrie zur y-Achse:
Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
f(x) = f(-x)

  • Punktsymmetrie zum Ursprung:
Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
-f(x) = f(-x)

  • Spezialfall: ganzrationale Funktionen

f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur gerade Exponenten auftauchen.
Also gilt:
Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

-f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur ungerade Exponenten auftauchen.
Also gilt:
Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

  • Hinweis:
Die einzige Funktion deren Graph sowohl achsensymmetrisch zur y-Achse also auch punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist f(x)=0.
Wie bestimmt man die Definitionsmenge und Nullstellen bei gebrochen-rationalen Funktionen?
#1091
Beachte bei gebrochen-rationalen Funktionen: Die Nullstellen des Nenners sind die Definitionslücken. Die Nullstellen des Zählers sind, sofern definiert, die Nullstellen der Funktion.
Wie bestimmt man die Schnittpunkte eines Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion mit den Koordinatenachsen?
#840
Der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion kann die x-Achse und die y-Achse schneiden. Punkte auf der x-Achse haben y-Koordinate 0, Punkte auf der y-Achse haben x-Koordinate 0. Vorgehensweise, um die jeweils fehlende Koordinate zu bestimmen:
  • Schnittpunkt mit der x-Achse: Löse die Gleichung f(x) = 0.
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Berechne f(0).
Beispiel
Gegeben ist die Funktion f mit dem Term 
f(x)
=
−
1
x
−
2
+
0,5
 und Definitionsmenge D = ℝ\{2}. Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen.
Beispiel
Gegeben sind die Funktionen
g
 
x
=
−
2x
+
4
  und
f
 
x
=
x
2
−
3x
−
4
x
−
1
Ermittle die Schnittpunkte der zugehörigen Graphen.
Wie bestimmt man das Verhalten einer gebrochen-rationalen Funktion für x gegen Unendlich?
#550
Der Limes einer gebrochen-rationalen Funktion für x → ∞ oder x → -∞ kann durch Ausklammern der höchsten Nennerpotenz bestimmt werden.

Noch einfacher geht es mit folgender Regel ("z" steht für Zählergrad, "n" für Nennergrad, mit " lZ" und " lN" sind die jeweiligen Leitkoeffizienten gemeint):

  • = 0, falls z < n (x- Achse als Asymptote)
  • = lZ : lN, falls z = n (waagrechte Asymptote, aber nicht die x-Achse)
  • = ∞ bzw. -∞, falls z > n; ob "+" oder "-" findet man heraus, indem man Zähler und Nennergrad sowie die Leitkoeffizienten betrachtet
Beispiel
l i m
x → -∞   
 
x
3
−
2
x
2
+
3x
=
?
Wie erkennt man bei gebrochen-rationalen Funktionen die Asymptoten des Graphen?
#326
Liegt eine gebrochen-rationale Funktion in der Form p(x)/q(x) vor, so kann man anhand des Zählergrads z (also die höchste x-Potenz im Zähler) und des Nennergrads n erkennen, ob der Graph eine waagrechte oder schräge Asymptote besitzt.
  • x-Achse als waagrechte Asymptote, falls z < n
  • waagrechte Asymptote, aber nicht die x-Achse, falls z = n; es genügt, die Leitkoeffizienten abzulesen und zu dividieren
  • schräge Asymptote, falls z = n + 1; die Gleichung lässt sich durch Polynomdivision ermitteln
  • weder waagrechte noch schräge Asymptote, falls z > n + 1
Liegt eine gebrochen-rationale Funktion in der Form mx+t+b(x) vor, wobei b(x) ein Bruchterm ist, der für betragsmäßige große x-Werte gegen 0 strebt, so ist y=mx+t die Gleichung der Asymptoten.
Beispiel
Liegen waagrechte/schräge Asymptoten vor? Wenn ja, bestimme deren Gleichung.
f
 
x
=
2x
2
3x
−
1
2
g
 
x
=
2x
2
·
1
−
x
3x
−
1
h
 
x
=
2x
3x
−
1
2
i
 
x
=
2x
2
3x
−
1
Wie leitet man den Funktionsterm einer gebrochen-rationalen Funktion mit Zähler- und Nennergrad höchstens 2 aus ihrem Graphen ab?
#1484

Die Nullstellen des Graphen sind die Nullstellen des Zählers des Funktionsterms.

Die Polstellen des Graphen sind die Nullstellen des Nenners des Funktionsterms. Wenn die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel ist, ist der Nennergrad gerade, bei einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel ist er ungerade.

Wenn der Graph die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote hat, gilt: Zählergrad < Nennergrad.

Wenn der Graph eine waagrechte Asymptote hat, die nicht die \(x\)-Achse ist, dann gilt Zählergrad = Nennergrad. Außerdem kann man aus der Gleichung der Asymptoten die Leitkoeffizienten ablesen: \(y=\frac{a}{b} \Rightarrow f(x)=\frac{a(x - x_1)(x - x_2)}{b(x - p_1)(x - p_2)}\)

Beispiel

Bestimme einen möglichen Term zum Graphen. Zähler- und Nennergrad sind höchstens \(2\).

Wie bestimmt man den Parameterwert k für den Graphen einer Funktionenschar?
#1205
Zu jedem Einzelgraphen einer Funktionenschar fk lässt sich der passende Parameterwert von k ermitteln, indem man einen gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt und diese nach k auflöst.
Wie bewirkt man durch Änderung des Funktionsterms eine Spiegelung an der x-Achse oder y-Achse sowie eine Verschiebung in y-Richtung?
#697

Regeln zur Transformation von Graphen

Der Graf einer Funktion f wird
  • ... an der x-Achse gespiegelt: Minus vor den Term, d.h. g(x) = - f(x)
  • ... an der y-Achse gespiegelt : x durch (-x) ersetzen, d.h. g(x) = f(-x)
  • ... um b in y-Richtung verschoben: b zum Term addieren, d.h. g(x) = f(x) +b
Wie verhalten sich die Funktionen x^n und e^x für x → ∞ und x → −∞?
#553
Die natürliche Exponentialfunktion verändert sich wesentlich schneller als jede Potenzfunktion. Daher gilt:
  • für x → −∞ strebt das Produkt aus ex und xn gegen 0
  • für x → ∞ strebt der Quotient aus xn und ex gegen 0
  • für x → ∞ strebt die Differenz aus ex und xn gegen ∞
Wie verhalten sich der Quotient aus ln(x) und x^n für x → ∞ und das Produkt aus ln(x) und x^n für x → 0^+?
#554
Die ln-Funktion verändert sich wesentlich langsamer als jede Potenzfunktion. Daher gilt:
  • für x → ∞ strebt der Quotient aus ln(x) und xn gegen 0
  • für x → 0+ strebt das Produkt aus ln(x) und xn gegen 0
Beispiel
lim
x → ∞
    
ln
 
1
x
x
−
x
2
=
?
Wie löst man Exponentialgleichungen der Form e^{f(x)} = b?
#859
Gleichungen der Art

ef(x) = b

löst man, indem man beide Seiten logarithmiert. Merke dir für den Spezialfall b=1, dass

ln(1)=0.

Beispiel
Löse ohne Taschenrechner.
e
2
−
5x
=
1
 
Beispiel
x
2
·
e
x
+
1
−
3e
x
=
0
Wie löst man Gleichungen der Form ln(...) = b und was ergibt sich, wenn b = 0?
#860
Gleichungen der Art

ln(...)=b

löst man, indem man auf beiden Seiten exp anwendet. Merke dir für den Spezialfall b=0, dass

e0=1.

Beispiel
Löse die Gleichung
ln
 
3
−
11x
=
0
 
ohne Taschenrechner.
Wie kann man den Graphen und die Wertemenge einer Umkehrfunktion beschreiben?
#762
Sei f eine umkehrbare Funktion und f −1 ihre Umkehrfunktion. Der Graph von f −1 ergibt sich aus dem Graphen von f, indem man bei allen Punkten die x- und y-Koordinate vertauscht. Das ist gleichbedeutend mit einer Spiegelung an der Geraden y=x (Winkelhalbierende des ersten und dritten Quadranten). Die Definitionsmenge von f −1 ist dann (logischer Weise) gleich der Wertemenge von f.
Wie bestimmt man den Term der Umkehrfunktion einer umkehrbaren Funktion?
#856
Ist eine Funktion umkehrbar, so erhält man den Term der Umkehrfunktion nach folgendem Rezept:
  1. Löse die Gleichung y = f(x) nach x auf.
  2. Vertausche dann x und y.
Beispiel
f
 
x
=
−
0,5x
+
1
9
.
Gib den Term der Umkehrfuktion 
f
−
1
 
x
 an.
Wie kann man feststellen, ob eine Funktion umkehrbar ist?
#855
Ist eine Funktion in einem bestimmten Intervall streng monoton zunehmend oder abnehmend, so ist sie in diesem Intervall auch umkehrbar.